Show Mobile Notice Show All Notes Hide All Notes
sekcja 4-8: funkcja Diraca Delta
Kiedy po raz pierwszy wprowadziliśmy funkcje Heaviside zauważyliśmy, że możemy myśleć o nich jako o przełącznikach zmieniających funkcję wymuszającą, \(g (t)\), w określonych momentach. Jednak funkcje Heaviside naprawdę nie nadają się do wymuszania funkcji, które wywierają „dużą” siłę w „małym” przedziale czasowym.
przykładami tego rodzaju funkcji wymuszającej byłby młotek uderzający w obiekt lub zwarcie w układzie elektrycznym. W obu tych przypadkach duża siła (lub napięcie) byłaby wywierana na system w bardzo krótkim czasie., Funkcja Diraca Delta jest używana do radzenia sobie z tego rodzaju funkcjami wymuszającymi.
funkcja Diraca Delta
istnieje wiele sposobów definiowania funkcji Diraca Delta. Aby zobaczyć niektóre z tych definicji odwiedź Wolframs MathWorld. Istnieją trzy główne właściwości funkcji Diraca Delta, które musimy być świadomi. Są to,
w \(t = a\) funkcja Diraca Delta jest czasami uważana za ma „nieskończoną” wartość., Tak więc funkcja Diraca Delta jest funkcją, która jest zerowa wszędzie z wyjątkiem jednego punktu i w tym punkcie może być traktowana jako niezdefiniowana lub mająca „nieskończoną” wartość.
zauważ, że całki w drugiej i trzeciej właściwości są rzeczywiście prawdziwe dla dowolnego interwału zawierającego \(t = a\), pod warunkiem, że nie jest to jeden z punktów końcowych. Podane tutaj limity są potrzebne do udowodnienia właściwości, a więc są one również podane we właściwościach. Użyjemy jednak faktu, że są one prawdziwe pod warunkiem, że całkujemy w przedziale zawierającym \(t = a\).
jest to bardzo dziwna funkcja., Jest zero wszędzie z wyjątkiem jednego punktu, A jednak Całka dowolnego przedziału zawierającego ten jeden punkt ma wartość 1. Funkcja Diraca Delta nie jest funkcją rzeczywistą, jak o niej myślimy. Jest to natomiast przykład czegoś, co nazywa się uogólnioną funkcją lub dystrybucją.
pomimo dziwności tej „funkcji” bardzo dobrze sprawdza się modelowanie nagłych wstrząsów lub dużych sił w systemie.
przed rozwiazaniem IVP potrzebna bedzie transformacja funkcji Diraca Delta. Możemy użyć trzeciej własności powyżej, aby to zdobyć.,
\
zauważ, że często drugie i trzecie właściwości są podane z granicami nieskończoności i ujemnej nieskończoności, ale są ważne dla dowolnego interwału, w którym \(T = a\) znajduje się we wnętrzu interwału.
dzięki temu możemy teraz rozwiązać IVP, który obejmuje funkcję Diraca Delta.
tak więc, z wyjątkiem nowej funkcji, działają one w ten sam sposób, w jaki działają wszystkie problemy, które widzieliśmy do tej pory. Zauważ również, że wykładnicza została wprowadzona do transformacji przez funkcję Diraca Delta, ale raz w transformacji nie ma znaczenia, skąd pochodzi., Innymi słowy, kiedy przeszliśmy do transformat odwrotnych, okazało się, że jest to funkcja Heaviside.
zanim przejdziemy do następnej sekcji, zróbmy krótką wycieczkę boczną i zauważ, że możemy powiązać funkcję Heaviside i funkcję Diraca Delta. Zacznij od następującej całki.
\
jest to jednak dokładnie definicja funkcji Heaviside. Więc
\
teraz, przypominając podstawowe twierdzenie rachunku różniczkowego, otrzymujemy
\
więc pochodną funkcji Heaviside ' a jest funkcja Diraca Delta.