Vis Mobile Merke Vis Alle Notater Skjule Alle Notater
§ 4-8 : Dirac Delta Funksjon
Når vi først introdusert Heaviside funksjoner vi merke til at vi kan tenke på dem som skifter endre tvinge funksjon, \(g(t)\), på bestemte tidspunkter. Imidlertid, Heaviside funksjoner er egentlig ikke egnet til å tvinge funksjoner som utøver en «stor» makt over «små» tidsramme.
Eksempler på denne typen tvinge funksjon ville være en hammer slående et objekt eller et kort i et elektrisk system. I begge disse tilfellene en stor styrke (eller spenning) ville være utøves på systemet over en svært kort tidsramme., Den Dirac Delta-funksjonen brukes til å håndtere disse typer tvang funksjoner.
Dirac Delta Funksjon
Det er mange måter å faktisk definere Dirac Delta-funksjonen. For å se noen av disse definisjonene besøk Wolframs MathWorld. Det er tre viktigste egenskaper av Dirac Delta funksjon som vi må være klar over. Disse er,
På \(t = a\) den Dirac Delta-funksjonen er noen ganger har tenkt på å ha en «uendelig» verdi., Så, Dirac Delta funksjon er en funksjon som er null overalt med unntak av ett punkt, og på dette punktet kan det være tenkt som enten er udefinert eller som å ha en «uendelig» verdi.
Merk at integraler i andre og tredje egenskapen er faktisk sant for alle intervall som inneholder \(t = a\), forutsatt at det ikke er et av endepunktene. Grensene som er gitt her, er nødvendig for å dokumentere egenskaper og så de er også gitt i egenskaper. Vi vil imidlertid bruke det faktum at de er sanne, forutsatt at vi integrerer over et intervall som inneholder \(t = a\).
Dette er en veldig merkelig funksjon., Det er null overalt, bortsett fra på ett punkt og likevel er den en integrert del av ethvert intervall som inneholder ett punkt har en verdi på 1. Den Dirac Delta-funksjonen er ikke en reell funksjon som vi tenker på dem. Det er i stedet et eksempel på noe som kalles en generalisert funksjon eller distribusjon.
til Tross for den fremmedheten av denne «funksjonen» det gjør en veldig fin jobb med modellering plutselige støt eller store styrker til et system.
Før du løse en IVP vi må forvandle av Dirac Delta-funksjonen. Vi kan bruke tredjeparts eiendom ovenfor for å få dette.,
\
Merk at det ofte andre og tredje egenskaper er gitt med grensene av infinity og negative infinity, men de er gyldige for alle intervall som \(t = a\) er i det indre av intervallet.
Med dette kan vi nå løse en IVP som innebærer en Dirac Delta-funksjonen.
Så, med unntak av den nye funksjonen disse fungerer på samme måte som alle de problemene som vi har sett til dette punktet arbeid. Merk også at den eksponentielle ble innført i transformeringen av Dirac Delta funksjon, men en gang i forvandle det spiller ingen rolle hvor det kom fra., Med andre ord, når vi gikk til den inverse forvandler det kom ut igjen som en Heaviside-funksjonen.
Før du går videre til neste avsnitt, la oss ta en rask avstikker og merk at vi kan forholde seg til Heaviside-funksjonen og Dirac Delta-funksjonen. Start med følgende integral.
\
Men, dette er nettopp det som er definisjonen av Heaviside-funksjonen. Så,
\
Nå, minner om den Grunnleggende Teorem av Kalkulus, vi får,
\
Så, den deriverte av Heaviside-funksjonen er den Dirac Delta-funksjonen.