Näytä Mobile Ilmoitus Näytä Kaikki Toteaa, Piilottaa Kaikki Muistiinpanot
osa 4-8 : Diracin Delta-Funktio
Kun me ensimmäisen kerran käyttöön Heaviside toiminnot totesimme, että voisimme ajatella niitä kytkimet muuttaa pakottaa toiminto, \(g(t)\), tiettyinä aikoina. Heaviside-funktiot eivät kuitenkaan todellakaan sovellu pakottamaan toimintoja, jotka käyttävät ”suurta” voimaa ”pienen” aikakehyksen yli.
Esimerkkejä tällaisesta pakottaa toiminto olisi vasara silmiinpistävää esine tai lyhyt sähköinen järjestelmä. Molemmissa tapauksissa järjestelmään kohdistuisi suuri voima (tai jännite) hyvin lyhyessä ajassa., Diracin Deltafunktiota käytetään tällaisten pakotefunktioiden hoitamiseen.
Diracin Delta-Funktio
On monia tapoja oikeastaan määritellä Diracin Delta-funktio. Nähdä joitakin näistä määritelmistä vierailla Wolframs MathWorld. Diracin Delta-funktiolla on kolme pääominaisuutta, joista meidän on oltava tietoisia. Nämä ovat,
AT \(t = A\) Diracin Deltafunktiolla ajatellaan joskus olevan ”ääretön” arvo., Diracin Deltafunktio on siis funktio, joka on nolla kaikkialla paitsi yhdessä pisteessä ja siinä vaiheessa sen voidaan ajatella olevan joko määrittelemätön tai ”ääretön” arvo.
Huomaa, että integrals toisen ja kolmannen omaisuutta, on todella totta tahansa väli, joka sisältää \(t = a\), jos se ei ole yksi päätepisteet. Tässä annetut rajat tarvitaan ominaisuuksien todistamiseen, joten ne annetaan myös kiinteistöissä. Käytämme kuitenkin sitä tosiasiaa, että ne ovat totta, jos integroimme yli aikaväli, joka sisältää \(t = a\).
Tämä on hyvin outo funktio., Se on nolla kaikkialla paitsi yksi piste ja silti integraali tahansa intervalli, joka sisältää, että yksi piste on arvo 1. Diracin Deltafunktio ei ole todellinen funktio, kuten ajattelemme niistä. Se on sen sijaan esimerkki jotain kutsutaan yleistynyt toiminto tai jakelu.
tämän ”funktion” omituisuudesta huolimatta se tekee erittäin mukavaa työtä äkkisokkien tai suurten voimien mallintamiseksi järjestelmälle.
ennen IVP: n ratkaisemista tarvitaan Diracin Delta-funktion muunnos. Voimme käyttää kolmatta omaisuutta edellä saada tämän.,
\
Huomaa, että usein toisen ja kolmannen ominaisuudet on annettu raja-arvot infinity ja negatiivinen ääretön, mutta ne ovat voimassa jokin aikaväli, jolla \(t = a\) on sisätilojen väli.
tällä voimme nyt ratkaista IVP: n, johon liittyy Dirac-Deltafunktio.
niin, lukuun ottamatta uutta toimintoa nämä toimivat samalla tavalla kuin kaikki ongelmat, jotka olemme nähneet tähän pisteeseen työtä. Huomaa myös, että eksponentiaalinen otettiin muunnos, jonka Diracin Delta-funktio, mutta kun muuttaa sillä ei ole väliä, mistä se tuli., Toisin sanoen, Kun menimme käänteismuunnoksiin, se tuli takaisin esiin Heaviside-funktiona.
ennen kuin siirrytään seuraavaan osioon otetaan nopea sivumatka ja huomataan, että voimme suhteuttaa Heaviside-funktion ja Dirac Delta-funktion. Aloita seuraavalla integraalilla.
\
Kuitenkin, tämä on juuri määritelmä Heaviside-toiminto. Niin,
\
Nyt, muistuttaa Perusvapauksien Lause Calculus, saamme,
\
Niin, johdannainen Heaviside toiminto on Diracin Delta-funktio.