Visa mobil meddelande Visa alla anteckningar Dölj alla anteckningar
avsnitt 4-8 : Dirac Delta-funktion
När vi först introducerade Heaviside-funktioner noterade vi att vi kunde tänka på dem som växlar som ändrar tvingningsfunktionen, \(g(t)\) vid angivna tidpunkter. Heaviside-funktioner är dock verkligen inte lämpade för att tvinga funktioner som utövar en ”stor” kraft över en ”liten” tidsram.
exempel på denna typ av tvingande funktion skulle vara en hammare som slår ett objekt eller en kort i ett elektriskt system. I båda dessa fall skulle en stor kraft (eller spänning) utövas på systemet över en mycket kort tidsram., Dirac Delta-funktionen används för att hantera dessa typer av tvingande funktioner.
Dirac Delta-funktion
det finns många sätt att faktiskt definiera Dirac Delta-funktionen. För att se några av dessa definitioner besök Wolframs MathWorld. Det finns tre huvudegenskaper hos Dirac Delta-funktionen som vi måste vara medvetna om. Dessa är
at \(t = a\) Dirac Delta-funktionen är ibland tänkt att ha ett ”oändligt” värde., Så, Dirac Delta-funktionen är en funktion som är noll överallt utom en punkt och vid den tiden kan det ses som antingen odefinierat eller som att ha ett ”oändligt” värde.
Observera att integralerna i den andra och tredje egenskapen faktiskt gäller för alla intervall som innehåller \(t = a\), förutsatt att det inte är en av ändpunkterna. De gränser som ges här behövs för att bevisa egenskaperna och så ges de också i egenskaperna. Vi kommer dock att använda det faktum att de är sanna förutsatt att vi integrerar över ett intervall som innehåller \(t = a\).
detta är en mycket märklig funktion., Det är noll överallt utom en punkt och ändå integralet av något intervall som innehåller att en punkt har ett värde av 1. Dirac Delta-funktionen är inte en riktig funktion som vi tänker på dem. Det är istället ett exempel på något som kallas en generaliserad funktion eller distribution.
trots det märkliga i denna ”funktion” gör det ett mycket trevligt jobb med att modellera plötsliga chocker eller stora krafter till ett system.
innan vi löser en IVP behöver vi omvandlingen av Dirac Delta-funktionen. Vi kan använda den tredje egenskapen ovan för att få detta.,
\
Observera att ofta den andra och tredje egenskaper ges med gränser för oändlighet och negativ oändlighet, men de gäller för alla intervall där \(T = A\) är i det inre av intervallet.
med detta kan vi nu lösa en IVP som innebär en Dirac Delta-funktion.
så, med undantag för den nya funktionen fungerar dessa på samma sätt som alla problem som vi har sett till denna punkt fungerar. Observera också att exponentialen introducerades i omvandlingen av Dirac Delta-funktionen, men en gång i omvandlingen spelar det ingen roll var den kom ifrån., Med andra ord, när vi gick till inversen förvandlar det kom tillbaka ut som en tung funktion.
innan du fortsätter till nästa avsnitt låt oss ta en snabb sidoresa och notera att vi kan relatera Heaviside-funktionen och Dirac Delta-funktionen. Börja med följande integral.
\
detta är dock just definitionen av Heaviside-funktionen. Så,
\
nu, påminner om den grundläggande satsen av kalkyl, vi får,
\
så är derivatet av Heaviside-funktionen Dirac Delta-funktionen.