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sección 4-8 : función delta de Dirac
Cuando introdujimos por primera vez las funciones Heaviside notamos que podíamos pensar en ellas como interruptores que cambiaban la función de forzamiento, \(g(t)\), en momentos especificados. Sin embargo, las funciones Heaviside realmente no son adecuadas para forzar funciones que ejercen una fuerza «grande» en un marco de tiempo «pequeño».
ejemplos de este tipo de función de forzamiento serían un martillo golpeando un objeto o un cortocircuito en un sistema eléctrico. En ambos casos, se ejercería una gran fuerza (o voltaje) sobre el sistema durante un período de tiempo muy corto., La función delta de Dirac se utiliza para tratar con este tipo de funciones de forzamiento.
función delta de Dirac
hay muchas maneras de definir realmente la función delta de Dirac. Para ver algunas de estas definiciones visite Wolframs MathWorld. Hay tres propiedades principales de la función delta de Dirac que debemos tener en cuenta. Estos son,
At \(t = A\) a veces se piensa que la función delta de Dirac tiene un valor «infinito»., Por lo tanto, la función delta de Dirac es una función que es cero en todas partes excepto un punto y en ese punto se puede pensar como indefinido o como tener un valor «infinito».
tenga en cuenta que las integrales en la segunda y tercera propiedad son realmente verdaderas para cualquier intervalo que contenga \(t = A\), siempre que no sea uno de los extremos. Los límites dados aquí son necesarios para probar las propiedades y por lo que también se dan en las propiedades. Sin embargo, usaremos el hecho de que son verdaderas siempre que nos integremos en un intervalo que contenga \(t = A\).
Esta es una función muy extraña., Es cero en todas partes excepto un punto y, sin embargo, la integral de cualquier intervalo que contenga ese punto tiene un valor de 1. La función delta de Dirac no es una función real como pensamos de ellos. Es en cambio un ejemplo de algo llamado una función generalizada o distribución.
a pesar de la extrañeza de esta «función» hace un trabajo muy agradable de modelar choques repentinos o grandes fuerzas a un sistema.
antes de resolver un IVP necesitaremos la transformación de la función delta de Dirac. Podemos usar la tercera propiedad de arriba para obtener esto.,
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tenga en cuenta que a menudo las propiedades segunda y tercera se dan con límites de infinito e infinito negativo, pero son válidas para cualquier intervalo en el que \(t = A\) esté en el interior del intervalo.
con esto ahora podemos resolver un IVP que involucra una función Delta de Dirac.
por lo tanto, con la excepción de la nueva función, estos funcionan de la misma manera que todos los problemas que hemos visto hasta este punto funcionan. Tenga en cuenta también que el exponencial fue introducido en la transformación por la función Delta de Dirac, pero una vez en la transformación no importa de dónde vino., En otras palabras, cuando fuimos a la inversa transforma volvió como una función Heaviside.
antes de proceder a la siguiente sección vamos a tomar un viaje lateral rápido y tenga en cuenta que podemos relacionar la función Heaviside y la función delta de Dirac. Comience con la siguiente integral.
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sin embargo, esta es precisamente la definición de la función Heaviside. Así,
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ahora, recordando el Teorema Fundamental del cálculo, obtenemos,
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así, la derivada de la función Heaviside es la función delta de Dirac.