afișare anunț mobil afișează toate notele ascunde toate notele
Secțiunea 4-8 : Delta Dirac Funcția
Când am introdus pentru prima Heaviside funcții am constatat că ne-am putea gândi la ele ca switch-uri schimbarea obligă funcția, \(g(t)\), la anumite intervale de timp. Cu toate acestea, funcțiile Heaviside nu sunt într-adevăr potrivite pentru forțarea funcțiilor care exercită o forță „mare” într-un interval de timp „mic”.Exemple de astfel de funcții de forțare ar fi un ciocan care lovește un obiect sau un scurtcircuit într-un sistem electric. În ambele cazuri, o forță mare (sau tensiune) ar fi exercitată asupra sistemului într-un interval de timp foarte scurt., Funcția Dirac Delta este utilizată pentru a face față acestor tipuri de funcții de forțare.
Dirac Delta Function
există multe modalități de a defini de fapt funcția Dirac Delta. Pentru a vedea unele dintre aceste definiții vizita Wolframs MathWorld. Există trei proprietăți principale ale funcției Dirac Delta de care trebuie să fim conștienți. Acestea sunt,
la \(t = A\) Funcția Dirac Delta este uneori considerat a avea o valoare „infinit”., Deci, funcția Dirac Delta este o funcție care este zero peste tot, cu excepția unui punct și în acel moment poate fi considerată fie nedefinită, fie ca având o valoare „infinită”.
rețineți că integralele din a doua și a treia proprietate sunt de fapt adevărate pentru orice interval care conține \(t = A\), cu condiția să nu fie unul dintre punctele finale. Limitele date aici sunt necesare pentru a dovedi proprietățile și astfel sunt date și în proprietăți. Cu toate acestea, vom folosi faptul că acestea sunt adevărate, cu condiția să integrăm într-un interval care conține \(t = a\).aceasta este o funcție foarte ciudată., Este zero peste tot, cu excepția unui punct și totuși integrala oricărui interval care conține acel punct are o valoare de 1. Funcția Dirac Delta nu este o funcție reală așa cum ne gândim la ele. Este în schimb un exemplu de ceva numit o funcție generalizată sau distribuție.în ciuda ciudățeniei acestei „funcții”, face o treabă foarte frumoasă de modelare a șocurilor bruște sau a forțelor mari într-un sistem.
înainte de a rezolva un IVP vom avea nevoie de transformarea funcției Dirac Delta. Putem folosi a treia proprietate de mai sus pentru a obține acest lucru.,
\
rețineți că adesea proprietățile a doua și a treia sunt date cu limite de infinit și infinit negativ, dar sunt valabile pentru orice interval în care \(t = a\) se află în interiorul intervalului.cu aceasta putem rezolva acum un IVP care implică o funcție Dirac Delta.deci ,cu excepția noii funcții, acestea funcționează în același mod în care funcționează toate problemele pe care le-am văzut până acum. Rețineți, de asemenea, că exponențialul a fost introdus în transformare de funcția Delta Dirac, dar o dată în transformare nu contează de unde a venit., Cu alte cuvinte, când ne-am dus la invers Transformă a venit înapoi ca o funcție Heaviside.
înainte de a trece la secțiunea următoare, să facem o scurtă călătorie laterală și să rețineți că putem lega funcția Heaviside și funcția Dirac Delta. Începeți cu următorul integral.
\
cu toate acestea, aceasta este tocmai definiția funcției Heaviside. Deci,
\
acum, reamintind Teorema fundamentală a calculului, obținem
\
deci, derivata funcției Heaviside este funcția Delta Dirac.