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Seção 4-8 : Função Delta de Dirac
Quando introduzimos Heaviside funções observamos que poderíamos considerá-los como parâmetros de alterar a função de obrigação, \(g(t)\), em horários especificados. No entanto, funções Heaviside não são realmente adequadas para forçar funções que exercem uma força ” grande “sobre um” pequeno ” período de tempo.
exemplos deste tipo de função de força seriam um martelo batendo um objeto ou um curto-circuito em um sistema elétrico. Em ambos os casos, uma grande força (ou tensão) seria exercida sobre o sistema durante um período de tempo muito curto., A função Delta de Dirac é usada para lidar com estes tipos de funções forçadas.
função Delta de Dirac
Existem muitas maneiras de realmente definir a função Delta de Dirac. Para ver algumas destas definições visite o Wolfram MathWorld. Há três propriedades principais da função Delta de Dirac que precisamos estar cientes. Estes são,
At \(t = A\) a função Delta de Dirac é às vezes pensado tem um valor “infinito”., Então, a função Delta de Dirac é uma função que é zero em todos os lugares exceto um ponto e nesse ponto pode ser pensado como indefinido ou como tendo um valor “infinito”.
Note que os integrais na segunda e terceira propriedade são realmente verdadeiros para qualquer intervalo que contenha \(t = a\), desde que não seja um dos pontos finais. Os limites indicados aqui são necessários para provar as propriedades e por isso eles também são dados nas propriedades. No entanto, vamos usar o fato de que eles são verdadeiros desde que estamos integrando ao longo de um intervalo contendo \(t = a\).esta é uma função muito estranha., É zero em todos os lugares exceto um ponto e ainda assim a integral de qualquer intervalo contendo que um ponto tem um valor de 1. A função Delta de Dirac não é uma função real como pensamos deles. Em vez disso, é um exemplo de algo chamado função generalizada ou distribuição.
apesar da estranheza desta “função”, ela faz um bom trabalho de modelagem de choques repentinos ou grandes forças para um sistema.
Antes de resolver um IVP precisaremos da transformação da função Delta de Dirac. Podemos usar a terceira propriedade para conseguir isto.,
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Note que muitas vezes a segunda e terceira propriedades são dadas com limites de infinito e infinito negativo, mas eles são válidos para qualquer intervalo em que \(t = A\) está no interior do intervalo.com isso podemos agora resolver um IVP que envolve uma função Delta de Dirac.
assim, com a exceção da nova função estes funcionam da mesma maneira que todos os problemas que vimos para este ponto funcionam. Note também que o exponencial foi introduzido na transformação pela função Delta de Dirac, mas uma vez na transformação não importa de onde veio., Em outras palavras, quando fomos para a transformação inversa, ela voltou como uma função Heaviside.
Antes de prosseguir para a próxima seção vamos fazer uma viagem rápida e notar que podemos relacionar a função Heaviside e a função Delta Dirac. Comece com a seguinte integral.no entanto, esta é precisamente a definição da função Heaviside. Então,
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agora, lembrando o Teorema Fundamental do cálculo, obtemos,
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assim, a derivada da função Heaviside é a função Delta de Dirac.