mobiele notitie tonen Toon alle notities Verberg alle notities
sectie 4-8: Dirac Delta functie
toen we voor het eerst Heaviside functies introduceerden merkten we dat we ze konden zien als schakelaars die de forcing functie veranderen, \(g(t)\), op bepaalde tijden. Heaviside functies zijn echter niet geschikt om functies te forceren die een “grote” kracht uitoefenen over een” klein ” tijdsbestek.
voorbeelden van dit soort forceerfunctie zijn een hamer die een voorwerp raakt of een korte in een elektrisch systeem. In beide gevallen zou een grote kracht (of spanning) worden uitgeoefend op het systeem over een zeer korte periode., De Dirac Deltafunctie wordt gebruikt om dit soort forceerfuncties aan te pakken.
Dirac-Deltafunctie
er zijn veel manieren om de Dirac-Deltafunctie daadwerkelijk te definiëren. Om een aantal van deze definities te zien bezoek Wolframs MathWorld. Er zijn drie belangrijke eigenschappen van de Dirac Delta functie waar we ons bewust van moeten zijn. Dit zijn,
bij \(t = a\) de Dirac-Deltafunctie heeft soms een “oneindige” waarde., De Dirac-Deltafunctie is dus een functie die overal nul is, behalve op één punt en op dat punt kan worden gedacht dat het ofwel ongedefinieerd is of dat het een “oneindige” waarde heeft.
merk op dat de integralen in de tweede en derde eigenschap eigenlijk waar zijn voor elk interval dat \(t = a\) bevat, mits het niet een van de eindpunten is. De hier gegeven limieten zijn nodig om de eigenschappen te bewijzen en dus worden ze ook gegeven in de eigenschappen. We zullen echter het feit gebruiken dat ze waar zijn, mits we integreren over een interval dat \(t = A\) bevat.
Dit is een zeer vreemde functie., Het is overal nul behalve één punt en toch heeft de integraal van elk interval dat dat punt bevat een waarde van 1. De Dirac-Deltafunctie is geen echte functie zoals we ze denken. Het is in plaats daarvan een voorbeeld van iets dat een gegeneraliseerde functie of distributie wordt genoemd.
ondanks de vreemdheid van deze” functie ” doet het zeer goed werk van het modelleren van plotselinge schokken of grote krachten aan een systeem.
voor het oplossen van een IVP hebben we de transformatie van de Dirac Delta functie nodig. We kunnen de derde eigenschap hierboven gebruiken om dit te krijgen.,
\
merk op dat de tweede en derde eigenschappen vaak worden gegeven met limieten van Oneindigheid en negatieve oneindigheid, maar ze zijn geldig voor elk interval waarin \(t = a\) zich in het interieur van het interval bevindt.
hiermee kunnen we nu een IVP oplossen die een Dirac Delta functie omvat.
dus, met uitzondering van de nieuwe functie werken deze op dezelfde manier dat alle problemen die we tot nu toe hebben gezien werken. Merk ook op dat de exponentiële werd geïntroduceerd in de transformatie door de Dirac Delta functie, maar eenmaal in de transformatie maakt het niet uit waar het vandaan kwam., Met andere woorden, toen we naar de inverse transforms gingen kwam het terug als een zware functie.
voordat we verder gaan naar de volgende sectie laten we een snelle zijtrip maken en merk op dat we de Heaviside functie en de Dirac Delta functie kunnen relateren. Begin met de volgende integraal.
\
Dit is echter precies de definitie van de Heaviside functie. Dus,
\
nu, herinnerend aan de fundamentele stelling van Calculus, krijgen we,
\
dus, de afgeleide van de Heaviside-functie is de Dirac-Deltafunctie.