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Sezione 4-8 : Funzione Delta di Dirac
Quando abbiamo introdotto per la prima volta le funzioni di Heaviside abbiamo notato che potremmo considerarle come interruttori che cambiano la funzione di forzatura, \(g(t)\), in orari specificati. Tuttavia, le funzioni Heaviside non sono davvero adatte a forzare funzioni che esercitano una forza “grande” su un lasso di tempo “piccolo”.
Esempi di questo tipo di funzione di forzatura sarebbero un martello che colpisce un oggetto o un corto in un sistema elettrico. In entrambi i casi una grande forza (o tensione) sarebbe esercitata sul sistema in un lasso di tempo molto breve., La funzione Delta di Dirac viene utilizzata per gestire questi tipi di funzioni di forzatura.
Funzione Delta di Dirac
Esistono molti modi per definire effettivamente la funzione Delta di Dirac. Per vedere alcune di queste definizioni visita Wolframs MathWorld. Ci sono tre proprietà principali della funzione Delta di Dirac di cui dobbiamo essere consapevoli. Questi sono,
At \ (t = a\) la funzione Delta di Dirac a volte si pensa che abbia un valore “infinito”., Quindi, la funzione Delta di Dirac è una funzione che è zero ovunque tranne un punto e in quel punto può essere pensata come indefinita o come avente un valore “infinito”.
Si noti che gli integrali nella seconda e terza proprietà sono effettivamente veri per qualsiasi intervallo contenente \(t = a\), a condizione che non sia uno degli endpoint. I limiti qui indicati sono necessari per dimostrare le proprietà e quindi sono anche indicati nelle proprietà. Useremo comunque il fatto che sono veri a condizione che stiamo integrando su un intervallo contenente \(t = a\).
Questa è una funzione molto strana., È zero ovunque tranne un punto e tuttavia l’integrale di qualsiasi intervallo contenente quel punto ha un valore di 1. La funzione Delta di Dirac non è una funzione reale come pensiamo di loro. È invece un esempio di qualcosa chiamato funzione o distribuzione generalizzata.
Nonostante la stranezza di questa “funzione” fa un ottimo lavoro di modellazione di shock improvvisi o grandi forze a un sistema.
Prima di risolvere un IVP avremo bisogno della trasformazione della funzione Delta di Dirac. Possiamo usare la terza proprietà sopra per ottenere questo.,
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Si noti che spesso la seconda e la terza proprietà sono date con limiti di infinito e infinito negativo, ma sono valide per qualsiasi intervallo in cui \(t = a\) si trova all’interno dell’intervallo.
Con questo possiamo ora risolvere un IVP che coinvolge una funzione Delta di Dirac.
Quindi, ad eccezione della nuova funzione, questi funzionano allo stesso modo in cui tutti i problemi che abbiamo visto fino a questo punto funzionano. Si noti inoltre che l’esponenziale è stato introdotto nella trasformazione dalla funzione Delta di Dirac, ma una volta nella trasformazione non importa da dove proviene., In altre parole, quando siamo andati alle trasformazioni inverse è tornato come una funzione Heaviside.
Prima di procedere alla sezione successiva facciamo un rapido viaggio laterale e notiamo che possiamo mettere in relazione la funzione Heaviside e la funzione Delta di Dirac. Inizia con il seguente integrale.
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Tuttavia, questa è precisamente la definizione della funzione Heaviside. Quindi,
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Ora, ricordando il Teorema fondamentale del Calcolo, otteniamo,
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Quindi, la derivata della funzione di Heaviside è la funzione Delta di Dirac.