Show Mobile Notice Show All Notes Hide All Notes
4-8. szakasz: Dirac Delta funkció
amikor először vezettük be a Heaviside funkciókat, megjegyeztük, hogy a kényszerfunkciót megváltoztató kapcsolóknak tekinthetjük őket, \(g(t)\), meghatározott időpontokban. A Heaviside funkciók azonban valóban nem alkalmasak arra, hogy olyan funkciókat kényszerítsenek, amelyek “nagy” erőt fejtenek ki egy “kis” időkereten keresztül.
példák az ilyen kényszerítő funkcióra egy kalapács, amely egy tárgyat vagy egy rövidet ütne egy elektromos rendszerben. Mindkét esetben nagy erőt (vagy feszültséget) gyakorolnának a rendszerre nagyon rövid idő alatt., A Dirac Delta funkciót az ilyen típusú kényszerítő funkciók kezelésére használják.
Dirac Delta függvény
a Dirac Delta függvény tényleges meghatározásának számos módja van. Ha látni néhány ilyen meghatározások látogasson Wolframs MathWorld. A Dirac Delta funkciónak három fő tulajdonsága van, amelyekről tisztában kell lennünk. Ezek:
At \ (t = a\) A Dirac Delta függvény néha úgy gondolják, hogy van egy “végtelen” értéket., Tehát a Dirac Delta függvény egy olyan függvény, amely mindenhol nulla, kivéve egy pontot, és ezen a ponton úgy lehet tekinteni, mint meghatározatlan vagy “végtelen” értékkel.
vegye figyelembe, hogy a második és a harmadik tulajdonság integráljai valójában igazak minden \(t = a\) intervallumra, feltéve, hogy nem az egyik végpont. Az itt megadott határértékek szükségesek a tulajdonságok bizonyításához, ezért azokat a tulajdonságokban is megadják. Fogjuk azonban használni azt a tényt, hogy igazak, feltéve, hogy integrálunk egy \(t = a\) intervallumot.
Ez egy nagyon furcsa funkció., Mindenhol nulla, kivéve egy pontot, de az egy pontot tartalmazó intervallum integrálja 1. A Dirac Delta funkció nem valódi funkció, mint gondolnánk rájuk. Ehelyett egy példa egy általánosított függvényre vagy eloszlásra.
annak ellenére, hogy ez a “funkció” furcsa, nagyon szép munkát végez a hirtelen sokkok vagy nagy erők modellezésében egy rendszerbe.
az IVP megoldása előtt szükségünk lesz a Dirac Delta funkció átalakítására. Használhatjuk a fenti harmadik ingatlant, hogy ezt megkapjuk.,
\
vegye figyelembe, hogy a második és harmadik tulajdonságok gyakran a végtelenség és a negatív végtelenség határaival vannak megadva, de érvényesek minden olyan intervallumra, amelyben \(t = a\) az intervallum belsejében van.
ezzel most megoldhatunk egy olyan IVP-t, amely Dirac Delta funkciót tartalmaz.
tehát az új funkció kivételével ezek ugyanúgy működnek, mint az összes probléma, amelyet eddig láttunk. Megjegyezzük továbbá, hogy az exponenciális vezették be a transzformáció a Dirac Delta függvény, de ha egyszer a transzformáció nem számít, honnan jött., Más szóval, amikor elmentünk az inverz transzformációk jött vissza, mint egy Heaviside függvény.
mielőtt továbblépnénk a következő szakaszba, Vegyünk egy gyors oldalirányú utat, és jegyezzük meg, hogy össze tudjuk kapcsolni a Heaviside függvényt és a Dirac Delta függvényt. Kezdje a következő integrállal.
\
azonban ez pontosan a Heaviside függvény meghatározása. Tehát,
\
most, emlékeztetve a kalkulus alapvető tételére, megkapjuk,
\
tehát a Heaviside függvény származéka a Dirac Delta függvény.