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Section 4-8 : fonction Delta de Dirac
lorsque nous avons introduit les fonctions Heaviside, nous avons noté que nous pouvions les considérer comme des commutateurs modifiant la fonction de forçage, \(g(t)\), à des moments spécifiés. Cependant, les fonctions de Heaviside ne sont vraiment pas adaptées aux fonctions de forçage qui exercent une « grande” force sur une « petite” période.
des exemples de ce type de fonction de forçage seraient un marteau frappant un objet ou un court dans un système électrique. Dans ces deux cas, une grande force (ou tension) serait exercée sur le système sur un laps de temps très court., La fonction delta de Dirac est utilisée pour traiter ces types de fonctions de forçage.
fonction Delta de Dirac
Il existe plusieurs façons de définir réellement la fonction delta de Dirac. Pour voir certaines de ces définitions, visitez Wolframs MathWorld. Il y a trois propriétés principales de la fonction delta de Dirac dont nous devons être conscients. Ce sont,
At \(t = a\) la fonction delta de Dirac est parfois considérée comme ayant une valeur « infinie”., Ainsi, la fonction delta de Dirac est une fonction qui est nulle partout sauf un point et à ce point, elle peut être considérée comme non définie ou comme ayant une valeur « infinie”.
notez que les intégrales de la deuxième et de la troisième propriété sont réellement vraies pour tout intervalle contenant \(t = a\), à condition que ce ne soit pas l’un des points de terminaison. Les limites données ici sont nécessaires pour prouver les propriétés et elles sont donc également données dans les propriétés. Nous utiliserons cependant le fait qu’ils sont vrais à condition que nous intégrions sur un intervalle contenant \(t = a\).
c’est une fonction très étrange., Il est nul partout sauf un point et pourtant l’intégrale de tout intervalle contenant ce point a une valeur de 1. La fonction Delta de Dirac n’est pas une fonction réelle telle que nous la pensons. C’est plutôt un exemple de quelque chose appelé une fonction ou une distribution généralisée.
malgré l’étrangeté de cette « fonction”, elle fait un très bon travail de modélisation de chocs soudains ou de forces importantes sur un système.
avant de résoudre un IVP, nous aurons besoin de la Transformée de la fonction delta de Dirac. Nous pouvons utiliser la troisième propriété ci-dessus pour obtenir ce.,
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Notez que, souvent, les deuxième et troisième propriétés sont donnés avec des limites de l’infini et l’infini négatif, mais elles sont valables pour tout intervalle où \(t = a\) est dans l’intérieur de l’intervalle.
avec cela, nous pouvons maintenant résoudre un IVP qui implique une fonction delta de Dirac.
donc, à l’exception de la nouvelle fonction, ceux-ci fonctionnent de la même manière que tous les problèmes que nous avons vus jusqu’à présent. Notez également que l’exponentielle a été introduite dans la transformation par la fonction delta de Dirac, mais une fois dans la transformation, peu importe d’où elle vient., En d’autres termes, lorsque nous sommes allés aux transformations inverses, elle est revenue comme une fonction de Heaviside.
avant de passer à la section suivante, faisons un petit détour et notons que nous pouvons relier la fonction Heaviside et la fonction Dirac Delta. Démarrer avec l’intégrale suivante.
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Cependant, c’est précisément la définition de la fonction Heaviside. Donc,
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Maintenant, rappelant le Théorème Fondamental du Calcul, nous obtenons,
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Donc, la dérivée de la fonction Heaviside est la fonction Delta de Dirac.