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Abschnitt 4-8: Dirac-Delta-Funktion
Als wir zum ersten Mal Heaviside-Funktionen einführten, stellten wir fest, dass wir sie als Schalter betrachten könnten, die die Forcing-Funktion \(g(t)\) zu bestimmten Zeiten ändern. Heaviside-Funktionen eignen sich jedoch nicht wirklich zum Erzwingen von Funktionen, die über einen „kleinen“ Zeitraum eine „große“ Kraft ausüben.
Beispiele für diese Art von Zwangsfunktion wären ein Hammer, der auf ein Objekt oder einen Kurzschluss in einem elektrischen System trifft. In beiden Fällen würde über einen sehr kurzen Zeitraum eine große Kraft (oder Spannung) auf das System ausgeübt., Die Dirac Delta-Funktion wird verwendet, um mit diesen Arten von Forcing-Funktionen umzugehen.
Dirac-Delta-Funktion
Es gibt viele Möglichkeiten, die Dirac-Delta-Funktion tatsächlich zu definieren. Um einige dieser Definitionen zu sehen, besuchen Sie Wolfram MathWorld. Es gibt drei Haupteigenschaften der Dirac-Delta-Funktion, die wir beachten müssen. Dies sind
Bei \(t = a\) wird manchmal angenommen, dass die Dirac-Delta-Funktion einen „unendlichen“ Wert hat., Die Dirac-Delta-Funktion ist also eine Funktion, die überall mit Ausnahme eines Punktes Null ist und an diesem Punkt entweder als undefiniert oder als „unendlicher“ Wert angesehen werden kann.
Beachten Sie, dass die Integrale in der zweiten und dritten Eigenschaft für jedes Intervall mit \(t = a\) tatsächlich wahr sind, sofern es sich nicht um einen der Endpunkte handelt. Die hier angegebenen Grenzen werden benötigt, um die Eigenschaften nachzuweisen, und so sind sie auch in den Eigenschaften angegeben. Wir werden jedoch die Tatsache verwenden, dass sie wahr sind, vorausgesetzt, wir integrieren über ein Intervall mit \(t = a\).
Dies ist eine sehr seltsame Funktion., Es ist überall Null mit Ausnahme eines Punktes und dennoch hat das Integral eines Intervalls, das diesen einen Punkt enthält, den Wert 1. Die Dirac-Delta-Funktion ist keine echte Funktion, wie wir sie uns vorstellen. Es ist stattdessen ein Beispiel für etwas, das als verallgemeinerte Funktion oder Verteilung bezeichnet wird.
Trotz der Fremdheit dieser „Funktion“ macht es einen sehr schönen Job, plötzliche Stöße oder große Kräfte auf ein System zu modellieren.
Bevor wir ein IVP lösen, benötigen wir die Transformation der Dirac-Delta-Funktion. Wir können die dritte Eigenschaft oben verwenden, um dies zu erhalten.,
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Beachten Sie, dass häufig die zweite und dritte Eigenschaft mit den Grenzen der Unendlichkeit und der negativen Unendlichkeit angegeben werden, sie jedoch für jedes Intervall gültig sind, in dem sich \(t = a\) im Inneren des Intervalls befindet.
Damit können wir jetzt ein IVP lösen, das eine Dirac-Delta-Funktion beinhaltet.
Mit Ausnahme der neuen Funktion funktionieren diese also genauso wie alle Probleme, die wir bis jetzt gesehen haben. Beachten Sie auch, dass das Exponential durch die Dirac-Delta-Funktion in die Transformation eingeführt wurde, aber einmal in der Transformation spielt es keine Rolle, woher es stammt., Mit anderen Worten, als wir zu den inversen Transformationen gingen, kam es wieder als Heaviside-Funktion heraus.
Bevor wir mit dem nächsten Abschnitt fortfahren, machen wir einen kurzen Abstecher und beachten, dass wir die Heaviside-Funktion und die Dirac-Delta-Funktion in Beziehung setzen können. Beginnen Sie mit dem folgenden Integral.
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Dies ist jedoch genau die Definition der Heaviside-Funktion. Also,
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Unter Hinweis auf den Grundsatzsatzsatz der Berechnung erhalten wir,
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Die Ableitung der Heaviside-Funktion ist also die Dirac-Delta-Funktion.