Vis Mobile Varsel Vis Alle Noter Skjule Alle Noter
afsnit 4-8: Dirac Delta-funktion
da vi først introducerede Heaviside-funktioner, bemærkede vi, at vi kunne tænke på dem som kontakter, der ændrer tvangsfunktionen, \(g(t)\), på bestemte tidspunkter. Heaviside-funktioner er imidlertid virkelig ikke egnede til at tvinge funktioner, der udøver en ” stor “kraft over en” lille ” tidsramme.
eksempler på denne form for tvangsfunktion ville være en hammer, der rammer en genstand eller en kort i et elektrisk system. I begge disse tilfælde ville en stor kraft (eller spænding) udøves på systemet over en meget kort tidsramme., Dirac Delta-funktionen bruges til at håndtere disse former for tvangsfunktioner.
Dirac Delta-funktion
Der er mange måder at definere Dirac Delta-funktionen på. For at se nogle af disse definitioner besøge .olframs Math .orld. Der er tre hovedegenskaber ved Dirac Delta-funktionen, som vi skal være opmærksomme på. Disse er,
at \(t = a\) Dirac Delta-funktionen er undertiden tænkt på at have en “uendelig” værdi., Så Dirac Delta-funktionen er en funktion, der er nul overalt undtagen et punkt, og på det tidspunkt kan den betragtes som enten udefineret eller som en “uendelig” værdi.
Bemærk, at integralerne i den anden og tredje egenskab faktisk gælder for ethvert interval, der indeholder \(t = a\), forudsat at det ikke er et af slutpunkterne. Grænserne her er nødvendige for at bevise egenskaberne, og de er også givet i egenskaberne. Vi vil dog bruge det faktum, at de er sande, forudsat at vi integrerer over et interval, der indeholder \(t = a\).
Dette er en meget mærkelig funktion., Det er nul overalt undtagen et punkt, og alligevel er integralet af ethvert interval, der indeholder det ene punkt, en værdi på 1. Dirac Delta-funktionen er ikke en reel funktion, som vi tænker på dem. Det er i stedet et eksempel på noget, der kaldes en generaliseret funktion eller distribution.
På trods af mærkeligheden af denne “funktion” gør det et meget flot stykke arbejde med at modellere pludselige stød eller store kræfter til et system.
før vi løser en IVP, har vi brug for transformationen af Dirac Delta-funktionen. Vi kan bruge den tredje ejendom ovenfor for at få dette.,
\
Bemærk, at ofte den anden og tredje egenskaber er givet med grænser for uendelighed og negativ uendelighed, men de er gyldige for ethvert interval, hvor \(T = A\) er i det indre af intervallet.
Med dette kan vi nu løse en IVP, der involverer en Dirac Delta-funktion.
så med undtagelse af den nye funktion fungerer disse på samme måde som alle de problemer, vi har set til dette punkt, fungerer. Bemærk også, at eksponentiel blev introduceret i transformationen af Dirac Delta-funktionen, men en gang i transformationen betyder det ikke noget, hvor det kom fra., Med andre ord, da vi gik til den inverse forvandler det kom tilbage ud som en Heaviside funktion.
før vi går videre til næste afsnit, lad os tage en hurtig sidetur og bemærke, at vi kan relatere Heaviside-funktionen og Dirac Delta-funktionen. Start med følgende integral.
\
Dette er imidlertid netop definitionen af Heaviside-funktionen. Så,
\
nu, der minder om den grundlæggende sætning af Calculus, får vi,
\
så, derivatet af Heaviside-funktionen er Dirac Delta-funktionen.