Zobrazit Mobilní Oznámení, Zobrazit Všechny Poznámky, Skrýt Všechny Poznámky,
Část 4-8 : Diracova Delta Funkce
Když jsme se poprvé představil Heavisideovy funkce, musíme poznamenat, že bychom mohli o nich přemýšlet jako přepínače mění nutit funkce \(g(t)\), v určených časech. Funkce Heaviside však opravdu nejsou vhodné pro vynucení funkcí, které vyvíjejí“ velkou „sílu nad“ malým “ časovým rámcem.
Příklady tohoto druhu nutí fungovat by to být kladivo udeří objekt nebo zkrat v elektrickém systému. V obou těchto případech by byla na systém vyvíjena velká síla (nebo napětí) ve velmi krátkém časovém rámci., Funkce Dirac Delta se používá k řešení těchto druhů nucených funkcí.
Dirac Delta funkce
existuje mnoho způsobů, jak skutečně definovat funkci Dirac Delta. Chcete-li vidět některé z těchto definic navštívit Wolframs MathWorld. Existují tři hlavní vlastnosti Funkce Dirac Delta, o které si musíme být vědomi. Jedná se o
At \ (t = a\) funkce Dirac Delta je někdy myšlenka má „nekonečnou“ hodnotu., Funkce Dirac Delta je tedy funkce, která je všude nulová kromě jednoho bodu a v tomto okamžiku ji lze považovat za nedefinovanou nebo za „nekonečnou“ hodnotu.
všimněte si, že integrály ve druhé a třetí vlastnosti jsou skutečně pravdivé pro jakýkoli interval obsahující \(t = a\), za předpokladu, že to není jeden z koncových bodů. Zde uvedené limity jsou potřebné k prokázání vlastností, a proto jsou také uvedeny ve vlastnostech. Budeme však používat skutečnost, že jsou pravdivé za předpokladu, že se integrujeme v intervalu obsahujícím \(t = a\).
Jedná se o velmi podivnou funkci., Všude je nula kromě jednoho bodu a přesto integrál jakéhokoli intervalu obsahujícího tento jeden bod má hodnotu 1. Funkce Dirac Delta není skutečnou funkcí, jak si o nich myslíme. Je to místo toho příklad něčeho, co se nazývá zobecněná funkce nebo distribuce.
navzdory zvláštnosti této „funkce“ dělá velmi pěknou práci při modelování náhlých otřesů nebo velkých sil do systému.
před řešením IVP budeme potřebovat transformaci funkce Dirac Delta. Můžeme použít třetí vlastnost výše, aby si to.,
\
Všimněte si, že často druhé a třetí vlastnosti jsou uvedeny s limity nekonečno a záporné nekonečno, ale jsou platné pro každý interval, ve kterém \(t =\) je v interiéru intervalu.
s tím můžeme nyní vyřešit IVP, který zahrnuje funkci Dirac Delta.
takže s výjimkou nové funkce fungují stejně, jako všechny problémy, které jsme dosud viděli, fungují. Všimněte si také, že exponenciál byl zaveden do transformace funkcí Dirac Delta, ale jednou v transformaci nezáleží na tom, odkud pochází., Jinými slovy, když jsme šli na inverzní transformace, vyšlo to jako těžká funkce.
Před pokračováním k další části pojďme se vzít rychlý výlet a vědomí, že můžeme vztáhnout Heavisideovy funkce a Diracova Delta funkce. Začněte s následujícím integrálem.
\
toto je však přesně definice funkce Heaviside. Takže
\
nyní, připomínající základní teorém počtu, dostaneme,
\
takže derivací funkce Heaviside je funkce Dirac Delta.