Moneyness functionEdit
Intuitivt sett moneyness och tid till utgången bildar ett tvådimensionellt koordinatsystem för att värdera alternativ (antingen i en valuta (dollar) värde eller implicit volatilitet), och förändras från plats (eller framåt, eller strejk) för att moneyness är en förändring av variabler. Således är en moneyness funktion en funktion m med inmatning spotpriset (eller framåt eller strejk) och mata ut ett reellt tal, som kallas moneyness., Villkoret att vara en förändring av variabler är att denna funktion är monoton (antingen ökar för alla ingångar eller minskar för alla ingångar), och funktionen kan bero på de andra parametrarna i Black–Scholes-modellen, särskilt tid till utgång, räntor och underförstådd volatilitet (konkret ATM implicit volatilitet), vilket ger en funktion:
m ( s, k, τ , r , σ), {\displaystyle M(S , k,\tau,r,\sigma),}
där S är spotpriset på den underliggande, K är lösenpriset, τ är tiden till utgången, R är riskfri ränta, och σ är den underförstådda volatiliteten., Terminspriset F kan beräknas från spotpriset s och riskfri ränta r. alla dessa är observerbara utom den underförstådda volatiliteten, som kan beräknas från det observerbara priset med hjälp av Black-Scholes–formeln.
för att denna funktion ska återspegla penghet-dvs.,, för moneyness att öka som plats och strejk rör sig i förhållande till varandra-det måste vara monoton i både plats S och i strejk K (likvärdigt framåt F, som är monoton i s), med minst en av dessa strikt monoton, och har motsatt riktning: antingen ökar i S och minskar i K (call moneyness) eller minskar i S och ökar i K (put moneyness). Något annorlunda formaliseringar är möjliga. Ytterligare Axiom kan också läggas till för att definiera en ”giltig” moneyness.,
denna definition är abstrakt och notationally tung; i praktiken används relativt enkla och konkreta moneyness-funktioner, och argument för funktionen undertrycks för tydlighet.
ConventionsEdit
vid kvantifiering av penningmängd beräknas den som ett enda nummer med avseende på plats (eller framåt) och strejk, utan att ange ett Referensalternativ. Det finns således två konventioner, beroende på riktning: Ring moneyness, där moneyness ökar om spot ökar i förhållande till strejk, och sätta moneyness, där moneyness ökar om spot minskar i förhållande till strejk., Dessa kan bytas genom att ändra tecken, eventuellt med en skift-eller skalfaktor (t.ex. sannolikheten att en put med strike K löper ut ITM är en minus sannolikheten att ett samtal med strike K löper ut ITM, eftersom dessa är kompletterande händelser). Switching spot och strike byter också dessa konventioner, och spot och strike kompletterar ofta i formler för moneyness, men behöver inte vara. Vilken konvention som används beror på syftet. Uppföljaren använder call moneyness – som spot ökar, moneyness ökar-och är samma riktning som att använda call Delta som moneyness.,
medan moneyness är en funktion av både plats och strejk, är vanligtvis en av dessa fixade och den andra varierar. Med tanke på ett specifikt alternativ är strejken fast och olika fläckar ger moneyness av det alternativet till olika marknadspriser.detta är användbart i alternativprissättning och förståelse av Black–Scholes-formeln., Omvänt, med tanke på marknadsdata vid en viss tidpunkt, är platsen fixerad till det nuvarande marknadspriset, medan olika alternativ har olika strejker, och därmed olika pengarhet; detta är användbart för att konstruera en underförstådd volatilitetsyta, eller helt enkelt plotta ett volatilitetsleende.
Simple examplesEdit
i det här avsnittet beskrivs penningmått från enkla men mindre användbara till mer komplexa men mer användbara., Enklare mått på moneyness kan beräknas omedelbart från observerbara marknadsdata utan några teoretiska antaganden, medan mer komplexa åtgärder använder den implicita volatiliteten och därmed Black–Scholes-modellen.
Det enklaste (put) moneyness är fast-strike moneyness, där M=K, och det enklaste samtal moneyness är fast plats moneyness, där M=S., Dessa är också kända som absolut moneyness, och motsvarar inte att ändra koordinater, istället använda råpriserna som mått på moneyness; motsvarande volatilitetsyta, med koordinater K och t (tenor) är den absoluta volatilitetsytan. Den enklaste icke-triviala moneyness är förhållandet mellan dessa, antingen S/K eller dess ömsesidiga K/S, som är känd som (spot) enkel moneyness, med analogt fram enkla moneyness., Konventionellt är den fasta kvantiteten i nämnaren, medan den variabla kvantiteten är i täljaren, så S/K för ett enda alternativ och varierande fläckar och K/S för olika alternativ på en given plats, till exempel vid konstruktion av en volatilitetsyta. En volatilitetsyta med hjälp av Koordinater en icke-trivial moneyness m och tid till utgången τ kallas den relativa volatilitetsytan (med avseende på moneyness M).
medan platsen ofta används av handlare, föredras framåt i teorin, eftersom den har bättre egenskaper, så F / K kommer att användas i uppföljaren., I praktiken, för låga räntor och korta tenors, spot kontra framåt gör liten skillnad.
ovanstående åtgärder är oberoende av tid, men för en given enkel penghet, alternativ nära utgången och långt för utgången beter sig annorlunda, eftersom alternativ långt från utgången har mer tid för den underliggande att ändra. Följaktligen kan man införliva tid till mognad τ i moneyness. Eftersom spridningen av Brownsk rörelse är proportionell mot kvadratroten av tiden, kan man dela loggen enkel penghet med denna faktor, vilket ger: ln ( f / K ) / τ ., {\displaystyle \ln \left(F/K\right){\Stor /}{\sqrt {\tau }}.} Detta normaliserar effektivt för tid till utgång – med denna åtgärd av penghet är volatilitetsleenden i stor utsträckning oberoende av tid till utgång.
denna åtgärd svarar inte för volatiliteten σ för den underliggande tillgången. Till skillnad från tidigare indata är volatiliteten inte direkt observerbar från marknadsdata, utan måste i stället beräknas i någon modell, främst med hjälp av ATM implicit volatilitet i Black–Scholes-modellen. Dispersionen är proportionell mot volatiliteten, så standardisering av volatilitetsutbyten:
m = ln ( F / K ) σ τ ., {\displaystyle M={\frac {\ln \ left (F/K\right)} {\sigma {\sqrt {\tau }}}}.}
detta är känt som den standardiserade moneyness (framåt), och mäter moneyness i standardavvikelse enheter.
i ord är den standardiserade penningmängden antalet standardavvikelser det aktuella terminspriset ligger över lösenpriset. Således är penningmängden noll när terminspriset för det underliggande är lika med lösenpriset,när optionen är framåt., Standardiserad moneyness mäts i standardavvikelser från denna punkt, med ett positivt värde vilket betyder Ett in-the-money-samtalsalternativ och ett negativt värde vilket betyder ett Out-of-the-money-samtalsalternativ (med tecken omvända för ett säljoption).
Black–Scholes formel extra variablesEdit
den standardiserade moneyness är nära relaterad till hjälpvariablerna i Black-Scholes formeln, nämligen termerna d + = D1 och d – = d2, vilka definieras som:
d ± = ln (F / K) ± (σ 2 / 2) τ σ τ., {\displaystyle d_ {\pm } ={\frac {\ln \ left(F/K \ right) \pm (\sigma ^{2}/2) \tau} {\sigma {\sqrt {\tau }}}}.,}
den standardiserade penningmängden är medelvärdet av dessa:
m = ln ( F / K ) σ τ = 1 2 ( d − + d + ) , {\displaystyle M={\frac {\ln(F/K)}{\sigma {\sqrt {\tau }}}}={\tfrac {1}{2}}\left(d_{-}+d_{+}\right),}
och de beställs som:
d − < m < d + , {\displaystyle d_{-}<m<d_{+},}
eftersom dessa är alla enheter av standardavvikelser är det meningsfullt att konvertera dessa till procentsatser, genom att utvärdera standard normal kumulativ fördelningsfunktion n för dessa värden. – herr talman!, Tolkningen av dessa kvantiteter är något subtil och består av att byta till en riskneutral åtgärd med specifikt val av numéraire. Kort sagt, dessa tolkas (för en köpoption) som:
- n(d−) är (framtida värde) priset för en binär köpoption, eller den riskneutrala sannolikheten för att alternativet kommer att löpa ut ITM, med numéraire kontanter (den riskfria tillgången);
- n(m) är den procentsats som motsvarar standardiserad moneyness;
- n(d+) är deltaet, eller den riskneutrala sannolikheten för att alternativet kommer att löpa ut ITM, med numéraire tillgång.,
dessa har samma beställning, eftersom N är monoton (eftersom det är en CDF):
n ( d − ) < n ( m ) < n ( d + ) = Δ . {\displaystyle N (d_ { – })<n(m)<n(d_{+})=\Delta .}
av dessa är N (d -) den (riskneutrala) ”sannolikheten för att gå ut i pengarna”, och därmed den teoretiskt korrekta procenten moneyness, med d− rätt moneyness. Den procentuella pengheten är den underförstådda sannolikheten att derivatet kommer att löpa ut i pengarna, i den riskneutrala åtgärden., Således ger en moneyness av 0 en 50% sannolikhet att löpa ut ITM, medan en moneyness av 1 ger en ungefär 84% sannolikhet att löpa ut ITM.
detta motsvarar tillgången efter geometrisk Brownian rörelse med drift r, den riskfria hastigheten och diffusion σ, den underförstådda volatiliteten. Drift är medelvärdet, med motsvarande median (50: e percentilen) är r−σ2/2, vilket är orsaken till korrektionsfaktorn. Observera att detta är den underförstådda sannolikheten, inte den verkliga sannolikheten.,
de andra kvantiteterna – (procent) standardiserad moneyness och Delta – är inte identiska med den faktiska procenten moneyness, men i många praktiska fall är dessa ganska nära (om volatiliteten är hög eller tiden för utgången är lång), och Delta används ofta av handlare som ett mått på (procent) moneyness. Delta är mer än moneyness, med (procent) standardiserad moneyness däremellan., Således har en 25 Delta call option mindre än 25% moneyness, vanligtvis något mindre, och en 50 Delta ”ATM” call option har mindre än 50% moneyness; dessa skillnader kan observeras i priserna på binära optioner och vertikala spreads. Observera att för puts är Delta negativt och därmed negativt Delta används-mer enhetligt används absolut värde av Delta för call/put moneyness.
betydelsen av faktorn för (σ2/2)τ är relativt subtil., För d – och m motsvarar detta skillnaden mellan medianen och medelvärdet (respektive) av geometrisk Brownsk rörelse (log-normalfördelningen) och är samma Korrektionsfaktor i Ito ’ s lemma för geometrisk Brownsk rörelse. Tolkningen av D+, som används i Delta, är subtilare, och kan tolkas mest elegant som förändring av numéraire., I mer elementära termer är sannolikheten för att optionen löper ut i pengarna och värdet på det underliggande vid träning inte oberoende – ju högre priset på det underliggande desto mer sannolikt är det att löpa ut i pengarna och ju högre värdet vid träning, varför Delta är högre än moneyness.