Moneyness functionEdit
Intuitivt set, moneyness og tid til udløb form af en to-dimensionelle koordinatsystem for værdiansættelse af optioner (enten i valuta (dollar) værdi eller implicitte volatilitet), og skiftende fra stedet (eller frem, eller strejke) til moneyness er en ændring af variabler. Således en moneyness funktion er en funktion M med input spotprisen (eller fremad, eller strejke) og output et reelt tal, som kaldes moneyness., Betingelse af, at være en ændring af variabler er, at denne funktion er monoton (enten stigende for alle indgange, eller faldende for alle indgange), og den funktion kan afhænge af andre parametre til Black–Scholes model, særlig tid til udløb, renter, og implicit volatilitet (konkret ATM implicitte volatilitet), hvilket gav en funktion:
M ( S , K , τ , r , σ ) , {\displaystyle M(S,K,\tau ,r,\sigma ),}
hvor S er stedet, hvor prisen på det underliggende, K er strike prisen, τ er det tid til udløb, r er den risikofri rente, og σ er den implicitte volatilitet., Terminsprisen F kan beregnes ud fra spotprisen s og den risikofrie sats r. alle disse er observerbare bortset fra den implicitte volatilitet, som kan beregnes ud fra den observerbare pris ved hjælp af Black-Scholes–formlen.
for at denne funktion skal afspejle moneyness – dvs., for moneyness at stige i takt med spot og strejke bevæger sig i forhold til hinanden – det skal være monoton i både spot S og i strejke K (ækvivalent fremad F, som er monoton i S), med mindst én af disse strengt monotone, og har modsatte retning: enten at øge i S og faldende i K (kald moneyness) eller faldende i S og stigende i K (læg moneyness). Noget forskellige formaliseringer er mulige. Yderligere aksiomer kan også tilføjes for at definere en “gyldig” moneyness.,
denne definition er abstrakt og notationelt tung; i praksis anvendes relativt enkle og konkrete pengefunktioner, og argumenter til funktionen undertrykkes for klarhed.
ConventionsEdit
når kvantificering moneyness, er det beregnet som et enkelt tal med hensyn til spot (eller fremad) og strejke, uden at angive en reference mulighed. Der er således to konventioner, afhængigt af retning: ring moneyness, hvor moneyness stiger, hvis stedet stiger i forhold til strejke, og sæt moneyness, hvor moneyness stiger, hvis stedet falder i forhold til strejke., Disse kan skiftes ved at ændre tegn, muligvis med et skift eller skala faktor (f.sandsynligheden for, at en put med strejke K udløber ITM er en minus sandsynligheden for, at et opkald med strejke K udløber ITM, da disse er komplementære begivenheder). Skift spot og strike skifter også disse konventioner, og spot og strike er ofte komplementære i formler for moneyness, men behøver ikke være det. Hvilken konvention der bruges afhænger af formålet. Efterfølgeren bruger call moneyness – som stedet stiger, moneyness stiger – og er den samme retning som at bruge call Delta som moneyness.,
mens moneyness er en funktion af både spot og strike, normalt en af disse er fast, og den anden varierer. I betragtning af en bestemt mulighed er strejken FAST, og forskellige pletter giver moneyness af denne mulighed til forskellige markedspriser; dette er nyttigt i optionspriser og forståelse af Black–Scholes-formlen., Omvendt, givet markedsdata på et givet tidspunkt, stedet er fastsat til den aktuelle markedspris, mens forskellige muligheder har forskellige strejker, og dermed forskellige moneyness; dette er nyttigt i konstruere en underforstået volatilitet overflade, eller mere blot plotte en volatilitet smil.
Simple e .amplesedit
dette afsnit skitserer pengemålinger fra enkle, men mindre nyttige til mere komplekse, men mere nyttige., Enklere mål for moneyness kan beregnes straks fra observerbare markedsdata uden nogen teoretiske antagelser, mens mere komplekse foranstaltninger bruger den implicitte volatilitet og dermed Black–Scholes-modellen.
Den enkleste (sat) moneyness er fast-strike moneyness, hvor M=K, og den enkleste opkald moneyness er fast-spot moneyness, hvor M=S., Disse er også kendt som absolut moneyness, og svarer til ikke at ændre koordinater, i stedet bruger de rå priser foranstaltninger, som af moneyness; den tilsvarende flygtighed overflade, med koordinater K og T (tenor) er den absolutte volatilitet overflade. Den enkleste ikke-trivielle moneyness er forholdet mellem disse, enten S/K eller dens gensidige K / S, som er kendt som (spot) simple moneyness, med analog fremad simpel moneyness., Konventionelt er den faste mængde i nævneren, mens den variable mængde er i tælleren, så S/K for en enkelt mulighed og varierende pletter, og K/s for forskellige muligheder på et givet sted, såsom ved konstruktion af en volatilitetsoverflade. En volatilitet overflade ved hjælp af koordinater en ikke-triviel moneyness m og tid til udløb τ kaldes den relative volatilitet overflade (med hensyn til moneyness M).
mens stedet ofte bruges af handlende, foretrækkes fremad i teorien, da det har bedre egenskaber, således vil F / k blive brugt i efterfølgeren., I praksis, for lave renter og korte tenorer, spot versus fremad gør lidt forskel.
ovennævnte foranstaltninger er uafhængige af tiden, men for en given simpel moneyness opfører optioner nær udløb og langt for udløb sig anderledes, da optioner langt fra udløb har mere tid til det underliggende til at ændre sig. Derfor kan man indarbejde tid til modenhed i moneyness. Da spredningen af Brownsk bevægelse er proportional med kvadratroden af tid, kan man opdele log enkel moneyness af denne faktor, hvilket giver: ln ( F / K ) / τ ., {\displaystyle \Ln\left(F/K\right) {\Big/} {\s .rt {\tau }}.} Dette normaliserer effektivt for tid til udløb – med denne måling af moneyness er volatilitet smil stort set uafhængige af tid til udløb.
denne foranstaltning tager ikke højde for volatiliteten σ af det underliggende aktiv. I modsætning til tidligere input er volatilitet ikke direkte observerbar fra markedsdata, men skal i stedet beregnes i en eller anden model, primært ved hjælp af ATM–implicit volatilitet i Black-Scholes-modellen. Dispersion er proportional med volatilitet, så standardisere ved volatilitet udbytter:
m = ln ((F / k). τ., {\displaystyle m={\frac {\ln \left(F/K\right)}{\sigma {\sqrt {\tau }}}}.}
Dette er kendt som den standardiserede moneyness (fremad), og måler moneyness i standardafvigelse enheder.
i ord er den standardiserede moneyness antallet af standardafvigelser den aktuelle terminspris er over strejkeprisen. Således moneyness er nul, når den fremadgående pris på den underliggende er lig med strike-prisen, når optionen er at-the-money-for .ard., Standardiseret moneyness er målt i standardafvigelser fra dette punkt, med en positiv værdi betyder en in-the-money call-option og en negativ værdi betyder en out-of-the-money call-option (med tegn vendes til en put-option).
Black–Scholes formel ekstra variablesEdit
Den standardiserede moneyness er tæt knyttet til de ekstra variable i Black–Scholes formlen, nemlig de vilkår, d+ = d1 og d− = d2, som er defineret som:
d ± = ln ( F / K ) ± ( σ 2 / 2 ) τ σ τ ., {\displaystyle d_{\pm }={\frac {\ln \left(F/K\right)\pm (\sigma ^{2}/2)\tau }{\sigma {\sqrt {\tau }}}}.,}
Den standardiserede moneyness er gennemsnittet af disse:
m = ln ( F / K ) σ τ = 1 2 ( d + d + ) , {\displaystyle m={\frac {\ln(F/K)}{\sigma {\sqrt {\tau }}}}={\tfrac {1}{2}}\left(d_{-}+d_{+}\right),}
og de er bestilt som:
d − < m < d + , {\displaystyle d_{-}<m<d_{+},}
Da disse er alle i enheder af standard afvigelser, det giver mening at konvertere disse til procenter, ved at evaluere normale kumulative fordelingsfunktion N for disse værdier., Fortolkningen af disse mængder er noget subtil og består i at skifte til en risikoneutral foranstaltning med specifikt valg af numraraire. Kort sagt, disse er fortolket (for en call-option) som:
- N(d− er den Fremtidige Værdi) prisen på en binær call-option, eller den risiko-neutrale sandsynligheden for, at optionen udløber ITM, med numéraire kontant (den risikofrie aktiv);
- N(m) er den procentdel, der svarer til standardiseret moneyness;
- N(d+) er det Delta, eller den risiko-neutrale sandsynligheden for, at optionen udløber ITM, med numéraire aktiv.,
Disse har den samme bestilling, som N er monoton (da det er en CDF):
N ( d − ) < N ( m ) < N ( d + ) = Δ . {\displaystyle N(d_{-})<N(m)<N(d_{+})=\Delta .}
af disse er N (d -) den (risikoneutrale) “Sandsynlighed for at udløbe i pengene”, og dermed den teoretisk korrekte procent moneyness, med d− den korrekte moneyness. Procent moneyness er den underforståede Sandsynlighed for, at derivatet udløber i pengene, i den risikoneutrale foranstaltning., Således vil en moneyness på 0 giver en 50% sandsynlighed for, udløber ITM, mens en moneyness af 1 giver en ca 84% sandsynlighed for, udløber ITM.
Dette svarer til aktivet efter geometrisk brunisk bevægelse med drift r, den risikofrie sats og diffusion., den implicitte volatilitet. Drift er middelværdien, hvor den tilsvarende median (50. percentil) er r -22 / 2, hvilket er årsagen til korrektionsfaktoren. Bemærk, at dette er den implicitte sandsynlighed, ikke den virkelige verden Sandsynlighed.,
Den anden mængder, – (procent) standardiseret moneyness og Delta – er ikke identisk med den faktiske procent moneyness, men i mange praktiske tilfælde, disse er ganske tæt på (medmindre volatiliteten er høj eller tid til udløb, er lang), og Delta er almindeligt anvendt af handlende som et mål for (procent) moneyness. Delta er mere end moneyness, med den (procent) standardiserede moneyness imellem., Således har en 25 Delta call option mindre end 25% moneyness, normalt lidt mindre, og en 50 Delta “ATM” call option har mindre end 50% moneyness; disse uoverensstemmelser kan observeres i priserne på binære optioner og lodrette spreads. Bemærk, at Delta for puts er negativt, og dermed anvendes negativt Delta – mere ensartet, absolut værdi af Delta bruges til opkald/put moneyness.
betydningen af faktoren (22 / 2)τ er relativt subtil., Til l− og m svarer til forskellen mellem medianen og gennemsnittet (henholdsvis) af geometrisk Brownsk bevægelse (log-normal-fordelingen), og er den samme korrektion faktor i Ito ‘ s lemma for geometrisk Brownsk bevægelse. Fortolkningen af d+ , som anvendt i Delta, er subtilere, og kan fortolkes mest elegant som ændring af numraraire., I mere elementære vilkår, sandsynligheden for, at optionen udløber i pengene, og værdien af det underliggende ved motion er ikke uafhængige – jo højere prisen på det underliggende, jo mere sandsynligt er det, at den udløber i pengene, og den højere værdi på øvelse, og derfor er Delta er højere end moneyness.