Moneyness functionEdit
Intuitivamente falando, moneyness e hora de expiração de forma bidimensional sistema de coordenadas para a valorização de opções (na moeda (dólar) valor ou na volatilidade implícita), e mudando de lugar (ou para frente, ou greve) para moneyness é uma mudança de variáveis. Assim, uma função de moneyness é uma função M com entrada o preço à vista (ou forward, ou strike) e saída um número real, que é chamado de moneyness., A condição de ser uma mudança de variáveis é que esta função é monótona (seja aumentando para todas as entradas, ou decrescentes para todas as entradas), e a função pode depender de outros parâmetros de Black–Scholes o modelo, nomeadamente o tempo de expiração do prazo de validade, taxas de juros e volatilidade implícita (concretamente o ATM volatilidade implícita), produzindo uma função:
M ( S , K , τ , r , σ ) , {\displaystyle M(S,K,\tau ,r,\sigma ),}
onde S é o preço spot do activo subjacente, K é o preço de exercício, τ é o tempo de expiração do prazo de validade, r é a taxa livre de risco, e σ é a volatilidade implícita., O preço a prazo F pode ser calculado a partir do preço à vista S e da taxa sem risco R. Todos estes valores são observáveis, excepto a volatilidade implícita, que pode ser calculada a partir do preço observável utilizando a fórmula Black-Scholes.
A fim de que esta função reflita a moneyness-i.e.,, para que o dinheiro aumente à medida que o spot e o strike se movem em relação um ao outro – deve ser monótono tanto no spot S como no strike K (equivalentemente para a frente F, Que é monótono em s), com pelo menos um destes estritamente monótono, e ter direção oposta: ou aumentando em S e diminuindo em K (moneyness de chamada) ou diminuindo em S e aumentando em K (moneyness de put). Formalizações um pouco diferentes são possíveis. Outros axiomas também podem ser adicionados para definir um moneyness “válido”.,
Esta definição é abstrata e notacionalmente pesada; na prática, funções de moneyness relativamente simples e concretas são usadas, e argumentos para a função são suprimidos para clareza.
Conventionedit
ao quantificar a moneyness, é calculado como um único número em relação ao spot (ou forward) e strike, sem especificar uma opção de referência. Existem, portanto, duas convenções, dependendo da direção: moneyness call, onde moneyness aumenta se spot aumenta em relação à greve, e colocar moneyness, onde moneyness aumenta se spot diminui em relação à greve., Estes podem ser mudados por mudança de sinal, possivelmente com um fator de mudança ou escala (por exemplo, a probabilidade de um put com strike K expirar ITM é uma menos a probabilidade de que uma chamada com strike K expire ITM, uma vez que estes são eventos complementares). Switching spot and strike also switches these conventions, and spot and strike are often complementary in formulas for moneyness, but need not be. A convenção que é usada depende do propósito. A sequela usa o chamado “moneyness” – como o aumento de pontos, o “moneyness” aumenta – e é a mesma direção que usar o call Delta como o “moneyness”.,enquanto a moneyness é uma função tanto do spot quanto do strike, geralmente um destes é fixo, e o outro varia. Dada uma opção específica, O strike é fixo, e diferentes spots rendem o dinheiro dessa opção a preços de mercado diferentes; isto é útil no preço das opções e na compreensão da fórmula Black–Scholes., Inversamente, dados de mercado num dado momento, a vista é fixada ao preço de mercado corrente, enquanto que as diferentes opções têm greves diferentes e, por conseguinte, uma margem diferente; isto é útil para construir uma superfície de volatilidade implícita, ou mais simplesmente para traçar um sorriso de volatilidade.
examplesEdit
Esta secção descreve medidas de moneyness de simples, mas menos útil para mais complexo, mas mais útil., Medidas mais simples de moneyness podem ser computadas imediatamente a partir de dados de mercado observáveis sem quaisquer pressupostos teóricos, enquanto medidas mais complexas usam a volatilidade implícita, e, portanto, o modelo Black–Scholes.
a mais simples (put) moneyness é moneyness de ataque fixo, onde M=K, e a mais simples moneyness de chamada é moneyness de ponto fixo, onde M=S., Estes são também conhecidos como moneyness absoluto, e correspondem a não mudar coordenadas, em vez de usar os preços brutos como medidas de moneyness; a superfície de volatilidade correspondente, com coordenadas K E T (tenor) é a superfície de volatilidade absoluta. O moneyness não-trivial mais simples é a razão destes, S/K ou seu k / s recíproco, que é conhecido como o moneyness simples (spot), com moneyness simples para a frente análogo., Convencionalmente, a quantidade fixa está no denominador, enquanto a quantidade variável está no numerador, então S/K para uma única opção e pontos variáveis, e K/S para diferentes opções em um dado ponto, como quando construir uma superfície de volatilidade. Uma superfície de volatilidade usando coordenadas de um moneyness m não trivial e tempo para expirar τ é chamada de superfície de volatilidade relativa (em relação ao moneyness M).enquanto o spot é muitas vezes usado por comerciantes, O forward é preferido em teoria, uma vez que tem Melhores propriedades, assim F/K será usado na sequência., Na prática, para taxas de juro baixas e tenores curtos, spot versus forward faz pouca diferença.
As medidas acima são independentes do tempo, mas para um dado moneyness simples, as opções perto de expirar e longe para expirar comportam-se de forma diferente, como as opções longe de expirar têm mais tempo para a subjacente mudar. Por conseguinte, pode-se incorporar o tempo até à maturidade τ em monetez. Uma vez que a dispersão do movimento browniano é proporcional à raiz quadrada do tempo, pode-se dividir a moneyness log simples por este fator, produzindo: ln ( F / K ) / τ ., {\displaystyle \ln \left (F / K\right) {\Big/} {\sqrt {\tau }}. Isso efetivamente normaliza para o tempo para expirar – com esta medida de dinheiro, sorrisos de volatilidade são em grande parte independentes do tempo para expirar.esta medida não tem em conta a volatilidade σ do activo subjacente. Ao contrário de dados anteriores, a volatilidade não é diretamente observável a partir de dados de mercado, mas deve ser calculada em algum modelo, principalmente usando a volatilidade implícita ATM no modelo Black–Scholes. A dispersão é proporcional à volatilidade, por isso a padronização pelos rendimentos da volatilidade:
m = ln ( F / K ) σ τ ., {\displaystyle m={\frac {\ln \left (F / K\right)}{\sigma {\sqrt {\tau }}}}}. isto é conhecido como moneyness padronizado (forward), e mede moneyness em unidades de desvio padrão.
por palavras, a moneyness padronizada é o número de desvios-padrão o preço a prazo corrente é superior ao preço de exercício. Assim, a moneyness é zero quando o preço a prazo do subjacente é igual ao preço de exercício, quando a opção é at-the-money-forward., O moneyness padronizado é medido em desvios padrão a partir deste ponto, com um valor positivo significando uma opção de chamada in-the-money e um valor negativo significando uma opção de chamada out-of-the-money (com sinais invertidos para uma opção put).
Black–Scholes fórmula auxiliar variablesEdit
padronizado moneyness está intimamente relacionada com as variáveis auxiliares no Black–Scholes fórmula, a saber, os termos d+ = d1 e d = d2, que são definidos como:
d ± = ln ( F / K ) ± ( σ 2 / 2 ) τ σ τ ., {\displaystyle d_{\pm }={\frac {\ln \left(F/K\right)\pm (\sigma ^{2}/2)\tau }{\sigma {\sqrt {\tau }}}}.,}
padronizado moneyness é a média desses:
m = ln ( F / K ) σ τ = 1 2 ( d + d + ) , {\displaystyle m={\frac {\ln(F/K)}{\sigma {\sqrt {\tau }}}}={\tfrac {1}{2}}\left(d_{-}+d_{+}\right),}
e eles são ordenados como:
− d < m < d + , {\displaystyle d_{-}<m<d_{+},}
Como estes estão todos em unidades de desvios padrão, faz sentido para converter esses percentuais, avaliando-se a distribuição cumulativa normal padrão função de N para estes valores., A interpretação dessas quantidades é um pouco sutil, e consiste em mudar para uma medida neutra em risco com escolha específica de numéraire. Em breve, estes são interpretados (para uma opção de compra (call) como:
- N(d) é o (Valor Futuro) o preço de uma opção binária call, ou o risco-neutro probabilidade de que a opção vai expirar ITM, com numéraire dinheiro (livre de risco de ativos);
- N(m) é o percentual correspondente à padronização moneyness;
- N(d+) é o Delta, ou o risco-neutro probabilidade de que a opção vai expirar ITM, com numéraire de ativos.,
Estas têm a mesma ordenação, como N é monotônica (pois é um CDF):
N ( d − ) < N ( m ) < N ( d + ) = Δ . {\displaystyle N(d_{-})<N(m)<N(d_{+})=\Delta . destes, N (d−) é a “probabilidade (neutra em risco) de expirar no dinheiro”, e, portanto, a teoricamente correta “moneyness” por cento, com d-a correta “moneyness”. A percentagem de moneyness é a probabilidade implícita de que o derivado expire na moeda, na medida neutra em risco., Assim, uma moneyness de 0 produz uma probabilidade de 50% de expirar ITM, enquanto uma moneyness de 1 produz uma probabilidade de aproximadamente 84% de expirar ITM.
isto corresponde ao activo que segue o movimento browniano geométrico com a deriva r, a taxa sem risco e a difusão σ, a volatilidade implícita. Deriva é a média, sendo a mediana correspondente (percentil 50) r−σ2/2, que é a razão para o factor de correcção. Note que esta é a probabilidade implícita, não a probabilidade do mundo real.,
as outras quantidades – (por cento) moneyness padronizado e Delta-não são idênticos ao moneyness porcentual real, mas em muitos casos práticos estes são bastante próximos (a menos que a volatilidade é alta ou tempo para expirar é longo), e Delta é comumente usado pelos comerciantes como uma medida de moneyness (por cento). Delta é mais do que moneyness, com o moneyness (por cento) padronizado no meio., Assim, uma opção de chamada de 25 Delta tem menos de 25% de moneyness, geralmente um pouco menos, e uma opção de chamada de 50 Delta “ATM” tem menos de 50% de moneyness; estas discrepâncias podem ser observadas em preços de opções binárias e spreads verticais. Note que para puts, Delta é negativo, e assim Delta negativo é usado – mais uniformemente, valor absoluto de Delta é usado para Call/put moneyness.
O significado do fator de (σ2/2)τ é relativamente sutil., Para d-E m isso corresponde à diferença entre a mediana e a média (respectivamente) do movimento browniano geométrico (a distribuição log-normal), e é o mesmo fator de correção no lema de Itō para o movimento browniano geométrico. A interpretação de d+, como usado em Delta, é mais sutil, e pode ser interpretada de forma mais elegante como mudança de numéraire., Em termos mais elementares, a probabilidade de que a opção expire no dinheiro e o valor do exercício subjacente no exercício não são independentes – quanto maior o preço do subjacente, maior a probabilidade de expirar no dinheiro e maior o valor no exercício, daí porque Delta é maior do que moneyness.