funkcja Moneynessedit
intuicyjnie rzecz biorąc, moneyness i czas do wygaśnięcia tworzą dwuwymiarowy układ współrzędnych do wyceny opcji (w walucie (Dolar) lub w implikowanej zmienności), a zmiana z spot (lub forward, lub strike) do moneyness jest zmianą zmiennych. Tak więc funkcja moneyness jest funkcją m z wejściem ceny spot (lub forward, lub strike) i wyjście liczby rzeczywistej, która jest nazywana moneyness., Warunkiem zmiany zmiennych jest to, że funkcja ta jest monotonna (rosnąca dla wszystkich wejść lub malejąca dla wszystkich wejść), a funkcja może zależeć od innych parametrów modelu Blacka–Scholesa, w szczególności czasu do wygaśnięcia, stóp procentowych i implikowanej zmienności (konkretnie implikowanej zmienności ATM), dając funkcję:
m ( S, k , τ , r , σ), {\displaystyle M(s, k,\tau, r,\sigma),}
Gdzie S jest ceną spot instrumentu bazowego, {\displaystyle S, \ tau, r, \ sigma),}
Gdzie S jest ceną spot instrumentu bazowego, {\displaystyle S K to cena wykonania, τ to czas do wygaśnięcia, R to stopa wolna od ryzyka, a σ to implikowana zmienność., Cena forward F może być obliczona na podstawie ceny spot S i stopy wolnej od ryzyka R. wszystkie z nich są obserwowalne, z wyjątkiem implikowanej zmienności, która może być obliczona na podstawie obserwowalnej ceny za pomocą wzoru Blacka–Scholesa.
aby ta funkcja odzwierciedlała moneyness – czyli,, aby moneyness wzrastał jak spot I strike poruszał się względem siebie-musi być monotonny zarówno w spot S jak i w strike K (równoważnie forward F, co jest monotonne W S), z co najmniej jednym z tych ściśle monotonnych, i mieć przeciwny kierunek: albo rosnący w S i malejący W K (call moneyness) lub malejący w s i rosnący w K (put moneyness). Możliwe są nieco inne formalizacje. Dodatkowe aksjomaty mogą być również dodane w celu zdefiniowania” prawidłowej ” moneyness.,
definicja ta jest abstrakcyjna i niezbyt ciężka; w praktyce stosuje się stosunkowo proste i konkretne funkcje moneyness, a argumenty do funkcji są tłumione dla jasności.
Konwencjedytuj
podczas kwantyfikacji moneyness, jest obliczana jako pojedyncza liczba w odniesieniu do spot (lub forward) I strike, bez podawania opcji reference. Istnieją więc dwie konwencje, w zależności od kierunku: call moneyness, gdzie moneyness wzrasta, jeśli spot wzrasta w stosunku do strike, I put moneyness, gdzie moneyness wzrasta, jeśli spot maleje w stosunku do strike., Mogą one być przełączane przez zmianę znaku, ewentualnie z przesunięciem lub współczynnikiem skali (np. prawdopodobieństwo, że put ze strajkiem K wygasa ITM jest jeden minus prawdopodobieństwo, że wywołanie ze strajkiem K wygasa ITM, ponieważ są to zdarzenia komplementarne). Przełączanie spot I strike również przełącza te konwencje, a spot i strike są często komplementarne w formułach for moneyness, ale nie muszą być. To, która konwencja jest używana, zależy od celu. Sequel wykorzystuje Call moneyness-wraz ze wzrostem spot, moneyness-i jest w tym samym kierunku, co używanie call Delta jako moneyness.,
podczas gdy moneyness jest funkcją zarówno spot, jak i strike, zwykle jedna z nich jest stała, a druga zmienna. Biorąc pod uwagę konkretną opcję, strajk jest stały, a różne punkty dają moneyness tej opcji po różnych cenach rynkowych; jest to przydatne w wycenie opcji i zrozumienie formuły Black-Scholesa., Z drugiej strony, biorąc pod uwagę dane rynkowe w danym momencie, spot jest ustalony na aktualnej cenie rynkowej, podczas gdy różne opcje mają różne strajki, a tym samym różną moneyness; jest to przydatne w konstruowaniu implikowanej powierzchni zmienności, lub po prostu wykreślić uśmiech zmienności.
proste przykładyedytuj
w tej sekcji przedstawiono środki pieniężne od prostych, ale mniej użytecznych do bardziej złożonych, ale bardziej użytecznych., Prostsze miary moneyness można obliczyć natychmiast z obserwowalnych danych rynkowych bez żadnych założeń teoretycznych, podczas gdy bardziej złożone miary wykorzystują implikowaną zmienność, a tym samym model Black–Scholes.
najprostsza (put) moneyness to fixed-strike moneyness, gdzie m=K, a najprostsza call moneyness to fixed-spot moneyness, gdzie M = S., Są one również znane jako absolutna moneyness i odpowiadają nie zmieniających się współrzędnych, zamiast tego używając cen surowych jako miary moneyness; odpowiednia powierzchnia zmienności, o współrzędnych K i T (tenor) jest absolutną powierzchnią zmienności. Najprostsza nietrywialna moneyness jest stosunek tych, albo S / K lub jego wzajemne K / S, który jest znany jako (spot) proste moneyness, z analogicznym forward proste moneyness., Konwencjonalnie stała ilość jest w mianowniku, podczas gdy zmienna ilość jest w liczniku, więc S / K dla pojedynczej opcji i różnych miejsc i K / S dla różnych opcji w danym miejscu, na przykład podczas konstruowania powierzchni zmienności. Powierzchnia zmienności o współrzędnych nietrywialnych moneyness M i czas do wygaśnięcia τ nazywana jest względną powierzchnią zmienności (w odniesieniu do moneyness M).
chociaż spot jest często używany przez traderów, w teorii preferowany jest forward, ponieważ ma lepsze właściwości, więc F / K będzie używany w sequelu., W praktyce, w przypadku niskich stóp procentowych i krótkich tenorów, spot kontra forward ma niewielką różnicę.
powyższe miary są niezależne od czasu, ale dla danej prostej moneyness, opcje blisko wygaśnięcia i daleko do wygaśnięcia zachowują się inaczej, ponieważ opcje daleko od wygaśnięcia mają więcej czasu na zmianę bazowej. W związku z tym, można włączyć czas do dojrzałości τ do moneyness. Ponieważ dyspersja ruchu Browna jest proporcjonalna do pierwiastka kwadratowego czasu, można podzielić logarytm prosty przez ten współczynnik, dając: ln (F / K) / τ., {\displaystyle \ln\left(F/K\right) {\Big/} {\sqrt {\tau }}.} To skutecznie normalizuje czas do wygaśnięcia – z tą miarą moneyness, zmienność uśmiechy są w dużej mierze niezależne od czasu do wygaśnięcia.
środek ten nie uwzględnia zmienności σ instrumentu bazowego. W przeciwieństwie do poprzednich danych wejściowych, zmienność nie jest bezpośrednio obserwowalna na podstawie danych rynkowych, ale musi być obliczana w pewnym modelu, głównie przy użyciu zmienności implikowanej ATM w modelu Blacka-Scholesa. Dyspersja jest proporcjonalna do zmienności, więc standaryzacja przez zmienność daje:
m = ln (F / K ) σ τ ., {\displaystyle m={\frac {\ln\left(F/K\right)} {\sigma {\sqrt {\tau }}}}.}
jest to znane jako znormalizowana moneyness( forward) I mierzy moneyness w jednostkach odchylenia standardowego.
w słowach, znormalizowana moneyness jest liczba odchyleń standardowych bieżąca cena forward jest powyżej ceny wykonania. Tak więc moneyness jest zero, gdy cena forward instrumentu bazowego jest równa cenie wykonania, gdy opcja jest at-the-money-forward., Standaryzowana moneyness jest mierzona w odchyleniach standardowych od tego punktu, z dodatnią wartością oznacza opcję in-the-money call i wartość ujemną oznacza opcję Out-of-the-money call (ze znakami odwróconymi dla opcji put).
zmienne pomocnicze Formuły Black–Scholesa
znormalizowana monetyczność jest ściśle związana ze zmiennymi pomocniczymi we wzorze Black–Scholesa, czyli terminami d+ = D1 I d− = d2, które są zdefiniowane jako:
d ± = ln ( F / K ) ± ( σ 2 / 2 ) τ σ τ ., {\displaystyle d_{\pm} ={\frac {\LN\left(F/K\right) \pm (\sigma ^{2}/2) \tau} {\sigma {\sqrt {\tau }}}}.,{\displaystyle m = {\frac {\ln ( F/K)} {\sigma {\sqrt {\tau}}}} = {\tfrac {1} {2}}\left ( d_ { − } + d_ { + }\right)}
i są one uporządkowane jako:
d-< m < d+, {\displaystyle d_ { − } < m<d_ {+},}
ponieważ wszystkie te wartości są jednostkami odchyleń standardowych, sensowne jest przekształcenie ich w procenty, poprzez ocenę standardowej normalnej funkcji rozkładu kumulacyjnego N dla tych wartości., Interpretacja tych ilości jest nieco subtelna i polega na przejściu na środek neutralny pod względem ryzyka z określonym wyborem liczb. W skrócie, są one interpretowane (dla opcji call) jako:
- N(D−) jest ceną (przyszłą wartością) binarnej opcji call lub prawdopodobieństwem neutralnym pod względem ryzyka, że opcja wygaśnie ITM, z numéraire cash (aktywem wolnym od ryzyka);
- N(M) jest procentem odpowiadającym standaryzowanej moneyness;
- N(d+) jest Deltą, lub prawdopodobieństwem neutralnym pod względem ryzyka, że opcja wygaśnie ITM, z numéraire cash (aktywem wolnym od ryzyka);
- N (M) jest atut numéraire.,
mają one taką samą kolejność, ponieważ N jest monotoniczne (ponieważ jest CDF):
N ( d−)< N ( m)< N ( d + ) = Δ . {\displaystyle N(d_ {-})<N(m)<N(d_ {+})= \ Delta .}
z nich, N (D -) jest (neutralne pod względem ryzyka) „prawdopodobieństwem wygaśnięcia w pieniądzu”, a więc teoretycznie poprawnym procentem, z d− poprawną moneyness. Procent moneyness to domniemane prawdopodobieństwo, że instrument pochodny wygaśnie w pieniądzu, w miarze neutralnym pod względem ryzyka., Zatem moneyness 0 daje 50% prawdopodobieństwo wygaśnięcia ITM, podczas gdy moneyness 1 daje około 84% prawdopodobieństwo wygaśnięcia ITM.
odpowiada to aktywowi wynikającemu z geometrycznego ruchu Browna z dryfem r, stopy wolnej od ryzyka i dyfuzji σ, implikowanej zmienności. Dryf jest średnią, a odpowiadającą jej medianą (50.percentyl) jest R−σ2/2, co jest przyczyną współczynnika korygującego. Należy zauważyć, że jest to domniemane Prawdopodobieństwo, a nie rzeczywiste prawdopodobieństwo.,
pozostałe ilości – (procent) standaryzowana moneyness i Delta-nie są identyczne z faktycznym procent moneyness, ale w wielu praktycznych przypadkach są one dość bliskie (chyba że zmienność jest wysoka lub czas do wygaśnięcia jest długi), a Delta jest powszechnie używany przez handlowców jako miara (procent) moneyness. Delta to więcej niż moneyness, z (procent) znormalizowaną moneyness pomiędzy., Tak więc opcja 25 Delta call ma mniej niż 25%, zwykle nieco mniej, a opcja 50 Delta „ATM” call ma mniej niż 50%; te rozbieżności można zaobserwować w cenach opcji binarnych i pionowych spreadów. Zauważ, że dla puts, Delta jest ujemna, a więc ujemna Delta jest używana-bardziej równomiernie, wartość bezwzględna Delta jest używana dla Call/put moneyness.
znaczenie czynnika (σ2 / 2)τ jest stosunkowo subtelne., Dla d – I m odpowiada to różnicy między medianą i średnią (odpowiednio) geometrycznego ruchu Browna (rozkład log-normalny) i jest tym samym współczynnikiem korekcji w lemacie Itō dla geometrycznego ruchu Browna. Interpretacja d+, stosowana w delcie, jest subtelniejsza i może być interpretowana najbardziej elegancko jako zmiana numéraire., W bardziej elementarnych kategoriach prawdopodobieństwo, że opcja wygaśnie w pieniądzu, a wartość instrumentu bazowego w wykonaniu nie jest niezależna – im wyższa cena instrumentu bazowego, tym bardziej prawdopodobne jest, że wygaśnie w pieniądzu i tym wyższa wartość w wykonaniu, stąd Delta jest wyższa niż moneyness.