Moneyness functionEdit
intuïtief gezien vormen moneyness en tijd tot verval een tweedimensionaal coördinatenstelsel voor het waarderen van opties (hetzij in valuta (dollar) waarde of in impliciete volatiliteit), en het veranderen van spot (of forward, of strike) naar moneyness is een verandering van variabelen. Aldus is een moneyness functie een functie M met input de spotprijs (of vooruit, of staking) en output een reëel getal, dat de moneyness wordt genoemd., De voorwaarde van een wijziging van de variabelen is dat deze functie is monotoon (verhogen voor alle ingangen, of wind voor alle ingangen), en kan de functie is afhankelijk van de andere parameters van de Black–Scholes-model, met name de tijd tot de vervaldag van de rente, en impliciete volatiliteit (concreet de ATM van de impliciete volatiliteit), waardoor een functie:
M ( N , K , τ , r , σ ) , {\displaystyle M(S,K,\tau ,r,\sigma)}
waar is de contante koers van de onderliggende waarde, K is de uitoefenprijs, τ is de tijd te verstrijken, r is de risicovrije rente, en σ is de impliciete volatiliteit., De termijnkoers F kan worden berekend uit de contante koers S en de risicovrije koers r. deze zijn allemaal waarneembaar, met uitzondering van de impliciete volatiliteit, die kan worden berekend uit de waarneembare koers met behulp van de Black–Scholes-formule.
zodat deze functie geldheid weergeeft-d.w.z.,, om moneyness te laten toenemen als vlek en slag ten opzichte van elkaar – het moet monotoon zijn in zowel vlek S als in slag K (gelijkwaardig voorwaartse F, die monotoon is in S), met ten minste één van deze strikt monotoon, en hebben tegenovergestelde richting: ofwel toenemen in S en afnemen in K (noemen moneyness) of afnemen in S en toenemen in K (zetten moneyness). Enigszins verschillende formalisaties zijn mogelijk. Verdere axioma ‘ s kunnen ook worden toegevoegd om een “geldige” moneyness te definiëren.,
Deze definitie is abstract en notioneel zwaar; in de praktijk worden relatief eenvoudige en concrete moneyness functies gebruikt, en argumenten voor de functie worden onderdrukt voor de duidelijkheid.
ConventionsEdit
bij het kwantificeren van moneyness wordt het berekend als een enkel getal met betrekking tot spot (of forward) en strike, zonder een referentieoptie te specificeren. Er zijn dus twee conventies, afhankelijk van de richting: call moneyness, waar moneyness toeneemt als spot toeneemt ten opzichte van staking, en put moneyness, waar moneyness toeneemt als spot afneemt ten opzichte van staking., Deze kunnen worden geschakeld door van teken te veranderen, eventueel met een shift-of schaalfactor (bijvoorbeeld, de kans dat een put met strike K het ITG verloopt is één min de kans dat een call met strike K het ITG verloopt, omdat dit complementaire gebeurtenissen zijn). Schakelen spot en strike schakelt ook deze conventies, en spot en strike zijn vaak complementair in formules voor moneyness, maar hoeft niet. Welke conventie wordt gebruikt, hangt af van het doel. Het vervolg gebruikt call moneyness – als spot toeneemt, moneyness toeneemt-en is dezelfde richting als het gebruik van call Delta als moneyness.,
terwijl moneyness een functie is van zowel spot als strike, is meestal een van deze vaste, en de andere varieert. Gegeven een specifieke optie, de staking is vast, en verschillende plekken opbrengst van de moneyness van die optie tegen verschillende marktprijzen; dit is nuttig in optie prijzen en het begrijpen van de Black–Scholes formule., Omgekeerd, gegeven marktgegevens op een bepaald moment, de spot is vastgesteld op de huidige marktprijs, terwijl de verschillende opties hebben verschillende stakingen, en dus verschillende moneyness; dit is nuttig bij het construeren van een impliciete volatiliteit oppervlak, of meer eenvoudig het plotten van een volatiliteit glimlach.
Simple examplesEdit
deze paragraaf schetst moneyness maten van eenvoudig maar minder nuttig naar complexer maar nuttiger., Eenvoudigere maatstaven van geldwaardigheid kunnen onmiddellijk worden berekend op basis van waarneembare marktgegevens zonder enige theoretische aannames, terwijl complexere maatstaven gebruik maken van de impliciete volatiliteit, en dus het Black–Scholes-model.
De eenvoudigste (put) moneyness is fixed-strike moneyness, waarbij M = K, en de eenvoudigste call moneyness is fixed-spot moneyness, waarbij M = S., Deze zijn ook bekend als absolute moneyness, en komen overeen met het niet veranderen van coördinaten, in plaats daarvan met behulp van de ruwe prijzen als maten van moneyness; de overeenkomstige volatiliteit oppervlak, met coördinaten K en T (tenor) is de absolute volatiliteit oppervlak. De eenvoudigste niet-triviale moneyness is de verhouding van deze, ofwel S / K of zijn wederkerige K / S, die bekend staat als de (vlek) eenvoudige moneyness, met analoge voorwaartse eenvoudige moneyness., Conventioneel de vaste hoeveelheid is in de noemer, terwijl de variabele hoeveelheid is in de teller, dus S/K voor een enkele optie en variërende vlekken, en K/S voor verschillende opties op een bepaalde plek, zoals bij het construeren van een volatiliteit oppervlak. Een vluchtigheidsoppervlak met behulp van Coördinaten een niet-triviale moneyness M en tijd tot verval τ wordt het relatieve vluchtigheidsoppervlak (met betrekking tot de moneyness M) genoemd.
hoewel de spot vaak wordt gebruikt door handelaren, heeft de forward in theorie de voorkeur, omdat het betere eigenschappen heeft, dus F/K zal worden gebruikt in het vervolg., In de praktijk maakt spot versus forward voor lage rentetarieven en korte looptijden weinig verschil.
de bovenstaande maatstaven zijn onafhankelijk van de tijd, maar voor een bepaalde eenvoudige geldwaarde gedragen opties bij vervaldag en ver voor vervaldag zich anders, omdat opties bij ver vervaldag meer tijd hebben om de onderliggende waarde te veranderen. Dienovereenkomstig kan men tijd tot vervaldag τ in geld opnemen. Aangezien de verspreiding van de Brownse beweging evenredig is met de vierkantswortel van de tijd, kan men de log eenvoudige moneyness delen door deze factor, hetgeen resulteert in: ln ( F / K ) / τ ., {\displaystyle \ ln \ left (F / K\right) {\Big /}{\sqrt {\tau }}.} Dit normaliseert effectief voor de tijd om te verstrijken-met deze maatregel van moneyness, volatiliteit glimlachen zijn grotendeels onafhankelijk van de tijd om te verstrijken.
deze maatstaf houdt geen rekening met de volatiliteit σ van het onderliggende actief. In tegenstelling tot eerdere inputs is de volatiliteit niet direct waarneembaar aan de hand van marktgegevens, maar moet deze worden berekend in een bepaald model, voornamelijk met behulp van de impliciete volatiliteit van ATM in het Black–Scholes-model. De spreiding is evenredig met de volatiliteit, dus standaardisatie door volatiliteit opbrengsten:
m = ln ( F / K ) σ τ ., {\displaystyle m={\frac {\ln \ left (F / K\right)} {\sigma {\sqrt {\tau }}}}.}
Dit is bekend als de gestandaardiseerde moneyness (forward), en meet moneyness in standaarddeviatie-eenheden.
in woorden is de gestandaardiseerde geldwaarde het aantal standaardafwijkingen de huidige termijnkoers ligt boven de uitoefenprijs. Aldus is de moneyness nul wanneer de termijnkoers van de onderliggende waarde gelijk is aan de uitoefenprijs, wanneer de optie tegen-de-geld-termijn is., Gestandaardiseerde moneyness wordt gemeten in standaardafwijkingen vanaf dit punt, met een positieve waarde betekent een in-the-money calloptie en een negatieve waarde betekent een out-of-the-money calloptie (met tekens omgekeerd voor een put optie).
Black–Scholes formule auxiliary variablesEdit
De gestandaardiseerde moneyness is nauw verwant aan de hulpvariabelen in de Black–Scholes formule, namelijk de termen d+ = d1 en d− = d2, die worden gedefinieerd als:
d ± = ln ( F / K ) ± ( σ 2 / 2 ) τ σ τ ., {\displaystyle d_ {\pm } ={\frac {\ln \ left (F / K\right) \pm (\sigma ^{2}/2) \tau} {\sigma {\sqrt {\tau }}}}.,}
De gestandaardiseerde moneyness is het gemiddelde van deze:
m = ln ( F / K ) σ τ = 1 2 ( d − + d + ) , {\displaystyle m={\frac {\ln(F/K)}{\sigma {\sqrt {\tau }}}}={\tfrac {1}{2}}\left(d_{-}+d_{+}\right),}
en ze zijn besteld als:
d − < m < d + , {\displaystyle d_{-}<m<d_{+},}
Als deze zijn alle in eenheden van standaarddeviaties, is het zinvol om deze om te zetten naar percentages door het evalueren van de standaard normale cumulatieve distributie functie N voor deze waarden., De interpretatie van deze grootheden is enigszins subtiel, en bestaat uit het veranderen naar een risiconeutrale maat met specifieke keuze van numéraire. In het kort worden deze (voor een calloptie) geïnterpreteerd als:
- N(d−) is de (toekomstige waarde) prijs van een binaire calloptie, of de risiconeutrale waarschijnlijkheid dat de optie het ITG zal aflopen, met numéraire cash (het risicovrije actief);
- N(m) is het percentage dat overeenkomt met gestandaardiseerde geldwaardigheid;
- N(d+) is de Delta, of de risiconeutrale waarschijnlijkheid dat de optie het ITG zal aflopen, met numéraire Asset.,
Deze hebben dezelfde volgorde, aangezien N monotoon is (aangezien het een CDF is):
N ( d−) < N ( m) < N ( d+) = Δ . {\displaystyle N (d_ { – })<N(m)<n(d_ {+})=\Delta .}
van deze, N(D−) is de (risiconeutrale) “waarschijnlijkheid van verval in het geld”, en dus de theoretisch correcte procent geldheid, met d-de juiste geldheid. De procent geldheid is de impliciete kans dat het derivaat zal vervallen in het geld, in de risiconeutrale maatregel., Een moneyness van 0 geeft dus een 50% kans op het verstrijken van het ITG, terwijl een moneyness van 1 een ongeveer 84% kans op het verstrijken van het ITG oplevert.
Dit komt overeen met het actief volgens geometrische Brownse beweging met drift r, de risicovrije rente, en diffusie σ, de impliciete volatiliteit. Drift is het gemiddelde, waarbij de corresponderende mediaan (50e percentiel) r−σ2/2 is, wat de reden is voor de correctiefactor. Merk op dat dit de impliciete waarschijnlijkheid is, niet de reële waarschijnlijkheid.,
de andere hoeveelheden – (procent) gestandaardiseerde moneyness en Delta – zijn niet identiek aan de werkelijke percent moneyness, maar in veel praktische gevallen zijn deze vrij dicht (tenzij de volatiliteit hoog is of de tijd om te vervallen lang is), en Delta wordt vaak gebruikt door handelaren als een maat voor (procent) moneyness. Delta is meer dan moneyness, met de (procent) gestandaardiseerde moneyness daartussenin., Dus een 25 Delta call optie heeft minder dan 25% moneyness, meestal iets minder, en een 50 Delta “ATM” call optie heeft minder dan 50% moneyness; deze verschillen kunnen worden waargenomen in de prijzen van binaire opties en verticale spreads. Merk op dat Voor puts, Delta negatief is, en dus negatieve Delta wordt gebruikt – meer uniform, absolute waarde van Delta wordt gebruikt voor call/put moneyness.
de Betekenis van de factor (σ2/2)τ is relatief subtiel., Voor d – en m komt dit overeen met het verschil tussen de mediaan en het gemiddelde (respectievelijk) van de geometrische Brownse beweging (de log-normale verdeling), en is dezelfde correctiefactor in Ito ‘ s lemma voor geometrische Brownse beweging. De interpretatie van D+, zoals gebruikt in Delta, is subtieler, en kan het elegantst worden geïnterpreteerd als verandering van numéraire., In meer elementaire termen is de kans dat de optie vervalt in het geld en de waarde van de onderliggende waarde bij de uitoefening niet onafhankelijk – hoe hoger de prijs van de onderliggende waarde, hoe waarschijnlijker het is om te vervallen in het geld en hoe hoger de waarde bij de uitoefening, vandaar waarom Delta hoger is dan moneyness.