Moneyness functionEdit
Intuitivt sett, moneyness og tid til utløpet danne et to-dimensjonalt koordinatsystem for verdsettelse valg (enten i valuta (dollar) verdi eller i implisitt volatilitet), og endring fra stedet (eller frem, eller streik) til moneyness er en endring av variabler. Dermed en moneyness funksjon er en funksjon M med innspill spotprisen (eller frem, eller streik) og utgang et reelt tall, som er kalt moneyness., Tilstanden av å være en endring av variabler er at denne funksjonen er monotone (enten øke for alle innganger, eller synkende for alle innganger), og funksjonen kan stole på andre parametere av Black–Scholes-modellen, særlig tid til løpetid, rente, og implisitt volatilitet (konkret ATM-implisitt volatilitet), noe som gir en funksjon:
M ( S , K , τ , r , σ ) , {\displaystyle M(S,K,\tau ,r,\sigma ),}
hvor S er spot-prisen på underliggende, K er streik pris, τ er det på tide å utløpet, r er risikofri rente, og σ er den implisitte volatiliteten., Fremover pris F kan beregnes fra spotprisen S og risikofri rente r. Alle disse er observables unntatt for implisitt volatilitet, som kan rekna ut fra observerbare pris ved bruk av Black–Scholes formel.
for at denne funksjonen til å reflektere moneyness – dvs., for moneyness å øke som sted og slå beveger seg i forhold til hverandre – det må være monotone i både spot S og i streik K (tilsvarende fremover F, som er monotone i S), med minst ett av disse strengt monotone, og har motsatt retning: enten å øke i S og synkende i K (ring moneyness) eller synkende i S og økende i K (sett moneyness). Noe annerledes formalizations er mulig. Videre aksiomene kan også legges til for å definere en «gyldig» moneyness.,
Denne definisjonen er abstrakt og notationally tung; i praksis relativt enkle og konkrete moneyness funksjoner som er brukt, og argumentene til funksjonen er undertrykt for klarhet.
ConventionsEdit
Når kvantifisering moneyness, det er rekna ut som et enkelt tall med hensyn til sted (eller bakover) og streik, uten å angi en referanse-alternativet. Det er dermed to konvensjoner, avhengig av retning: ring moneyness, hvor moneyness øker hvis spot øker i forhold til å streike, og sette moneyness, hvor moneyness øker hvis spot reduseres i forhold til streik., Disse kan endres ved å endre skiltet, eventuelt med en skift-eller skala faktor (f.eks., sannsynligheten for at et sett med streik K utløper ITM er ett minus sannsynligheten for at en samtale med streik K utløper ITM, da disse er komplementære hendelser). Bytte sted og slå veksler også disse konvensjonene, og spot-og streik er ofte komplementære i formler for moneyness, men trenger ikke være det. Som convention brukes, avhenger av formålet. Oppfølgeren bruker samtale moneyness – som spot øker, moneyness øker – og er det samme retning som ved hjelp av samtale Delta som moneyness.,
Mens moneyness er en funksjon av både spot og streik, vanligvis en av disse er fast, og det andre varierer. Gitt et bestemt alternativ, streiken er fast, og forskjellige steder, gir moneyness av at alternativet på ulike markedspriser; dette er nyttig i alternativ priser og forståelse av Black–Scholes formel., I motsatt fall, gitt marked data på et gitt tidspunkt, stedet er fast ved den gjeldende markedspris, mens ulike valg har forskjellige streik, og dermed forskjellige moneyness; dette er nyttig i å bygge en implisitt volatilitet overflaten, eller mer bare å plotte et volatilitet smil.
Enkel examplesEdit
Dette avsnittet skisserer moneyness tiltak fra enkle, men mindre nyttig til mer komplekse, men mer nyttig., Enklere tiltak av moneyness kan bli beregnet umiddelbart fra observerbare data uten noen teoretiske forutsetninger, mens mer komplekse tiltak bruk av implisitt volatilitet, og dermed Black–Scholes modellen.
Den enkleste (put) moneyness er fast-strike moneyness, der M=K, og den enkleste samtale moneyness er fast-spot moneyness, der M=S., Disse er også kjent som absolutt moneyness, og tilsvarer ikke endre koordinatene, i stedet for å bruke rå priser som tiltak av moneyness; tilsvarende volatilitet overflaten, med koordinater K og T (tenor) er den absolutt volatilitet overflaten. Den enkleste ikke-trivielle moneyness er forholdet mellom disse, enten S/K eller dets gjensidige K/S, som er kjent som (spot) enkel moneyness, med analogt frem enkle moneyness., Konvensjonelt tillatte kvantum er i nevneren, mens variabel mengde er i teller, så S/K for et enkelt alternativ og varierende felt, og K/S for ulike alternativer på et gitt sted, for eksempel når du lager en volatilitet overflaten. En volatilitet overflaten ved hjelp av koordinater en ikke-triviell moneyness M og tid til utløpet τ kalles relativ volatilitet overflaten (med hensyn til moneyness M).
Mens spot er ofte brukt av handelsmenn, framover er å foretrekke i teorien, som den har bedre egenskaper, og dermed F/K vil bli brukt i oppfølgeren., I praksis, for lave renter og korte tenorer, spot versus fremover gjør liten forskjell.
De ovennevnte tiltak er uavhengig av tid, men for en gitt enkle moneyness, valg nærheten av utløpet, og langt etter utløpet oppføre seg annerledes, som valg langt fra utløpet har mer tid til den underliggende for å endre. Følgelig kan man innlemme tid til forfall τ inn moneyness. Siden spredning av Brownske bevegelser er proporsjonal med kvadratroten av tiden, kan man dele loggen enkel moneyness av denne faktoren, gir: ln ( F / K ) / τ ., {\displaystyle \ln \left(F/K\right){\Stor /}{\sqrt {\tau }}.} Denne effektivt normaliserer for tid til utløpet – med dette tiltaket av moneyness, volatilitet smiler er i stor grad uavhengig av tid til utløpet.
Dette tiltaket ikke konto for volatiliteten σ av den underliggende eiendelen. I motsetning til tidligere innganger, volatilitet er ikke direkte fra observerbare markedsdata, men må i stedet bli beregnet i noen modell, først og fremst bruk av ATM-implisitt volatilitet i Black–Scholes modellen. Dispersjon er proporsjonal til variasjoner, så standardisering av volatilitet gir:
m = ln ( F / K ) σ τ ., {\displaystyle m={\frac {\ln \left(F/K\right)}{\sigma {\sqrt {\tau }}}}.}
Dette er kjent som den standardiserte moneyness (fremover), og tiltak moneyness i standardavvik-enheter.
I ord, standardisert moneyness er antall standard avvik nåværende terminpris er over innløsningskurs. Dermed moneyness er null når frem prisen på underliggende er lik innløsningskurs, når alternativet er at-the-money-frem., Standardiserte moneyness er målt i standardavvik fra dette punktet, med en positiv verdi betyr en in-the-money kjøpsopsjon og en negativ verdi betyr en out-of-the-money kjøpsopsjon (med tegn snudd for en salgsopsjon).
Black–Scholes formel for hjelpeorganisasjonene variablesEdit
Den standardiserte moneyness er nært knyttet til den ekstra variabler i Black–Scholes formel, nemlig vilkårene d+ = d1 og d− = d2, som er definert som:
d ± = ln ( F / K ) ± ( σ 2 / 2 ) τ σ τ ., {\displaystyle d_{\pm }={\frac {\ln \left(F/K\right)\pm (\sigma ^{2}/2)\tau }{\sigma {\sqrt {\tau }}}}.,}
Den standardiserte moneyness er gjennomsnittet av disse:
m = ln ( F / K ) σ τ = 1 2 ( d − + l + ) , {\displaystyle m={\frac {\ln(F/K)}{\sigma {\sqrt {\tau }}}}={\tfrac {1}{2}}\left(d_{-}+d_{+}\right),}
og de er bestilt som:
d − < m < d + , {\displaystyle d_{-}<m<d_{+},}
Som disse er alle i enheter av standard avvik, er det fornuftig å konvertere disse til prosenter, ved å evaluere standard normal cumulative distribution function N for disse verdiene., Tolkningen av disse mengdene er noe subtile, og består av endring til en risiko-nøytral mål med spesifikke valg av numéraire. I korte trekk, disse er tolket (for en samtale-alternativet) som:
- N(d−) er (Fremtidig Verdi) for prisen av en binær call opsjon, eller risiko-nøytral sannsynligheten for at alternativet utløper ITM, med numéraire kontanter (risiko-gratis ressurs);
- N(m) er andelen som svarer til standardisert moneyness;
- N(d+) er Delta, eller risiko-nøytral sannsynligheten for at alternativet utløper ITM, med numéraire eiendelen.,
Disse har samme bestilling, som N er monotonic (siden det er en CDF):
N ( d − ) < N ( m ) < N ( d + ) = Δ . {\displaystyle N(d_{-})<N(m)<N(d_{+})=\Delta .}
disse, N(d−) er (risiko-nøytral) «sannsynligheten for utløp i pengene», og dermed teoretisk riktige prosent moneyness, med d− riktig moneyness. Prosent moneyness er den implisitte sannsynligheten for at kontrakten utløper i penger, i risiko-nøytral mål., Dermed en moneyness 0 gir en 50% sannsynlighet for å utløper ITM, mens en moneyness av 1 gir en ca 84% sannsynlighet for å utløper ITM.
Dette tilsvarer eiendelen følgende geometriske Brownske bevegelser med drift r, risikofri rente, og spredning σ, og implisitt volatilitet. Drift er mener, med tilsvarende medianen (50-persentilen) som r−σ2/2, som er grunnen for korreksjonsfaktor. Merk at dette er den implisitte sannsynligheten for, og ikke den virkelige verden sannsynlighet.,
Den andre mengder – (prosent) standardisert moneyness og Delta – er ikke identisk med den faktiske prosent moneyness, men i mange praktiske tilfeller disse er ganske nær (med mindre volatiliteten er høy eller tid til å utløp er lang), og Delta er ofte brukt av handelsmenn som et mål på (prosent) moneyness. Delta er mer enn moneyness, med (prosent) standardisert moneyness i mellom., Dermed 25 Delta samtale alternativet har mindre enn 25% moneyness, vanligvis litt mindre, og en 50 Delta «ATM» samtale alternativet har mindre enn 50% moneyness; disse avvikene kan observeres i prisene på binære alternativer og vertikal sprer seg. Merk at for legger, Delta er negative, og dermed negative Delta er brukt – mer jevnt, absolutt verdi av Delta er brukt for call/put moneyness.
betydningen av faktoren (σ2/2)τ er relativt subtil., For l− og m dette tilsvarer forskjellen mellom median og gjennomsnittlig (henholdsvis) av geometriske Brownske bevegelser (log-normal fordeling), og er den samme korreksjonsfaktor i Itō ‘ s lemma for geometriske Brownske bevegelser. Tolkningen av d+, som brukes i Delta, er mer subtil, og kan tolkes mest elegant som endring av numéraire., I mer elementær form, sannsynligheten for at opsjonen utløper i penger og verdien av det underliggende på trening ikke er uavhengige – den høyere prisen på underliggende, jo mer sannsynlig er det å utløpe i penger, og jo høyere verdi på trening, og dermed hvorfor Delta er høyere enn moneyness.