Moneyyness functionEdit
Intuitiv gesprochen bilden Moneyyness und time to expiry ein zweidimensionales Koordinatensystem zur Bewertung von Optionen (entweder in Währung (Dollar) Wert oder in impliziter Volatilität) und der Wechsel von Spot (oder Forward oder Strike) zu Moneyyness ist eine Änderung von Variablen. Eine Moneyness-Funktion ist also eine Funktion M mit Eingabe des Spotpreises (oder Forward oder Strike) und Ausgabe einer reellen Zahl, die Moneyness genannt wird., Die Bedingung für eine Änderung der Variablen ist, dass diese Funktion monoton ist (entweder für alle Eingaben zunimmt oder für alle Eingaben abnimmt), und die Funktion kann von den anderen Parametern des Black–Scholes-Modells abhängen, insbesondere von der Zeit bis zum Ablauf, Zinssätze und implizite Volatilität (konkret die implizite Volatilität des ATM), was eine Funktion ergibt:
M ( S, K , τ , r , σ), {\displaystyle M(S, K,\tau, r,\sigma),}
wobei S der Spotpreis des Basiswerts ist, K ist der Ausübungspreis, τ ist die Zeit bis zum Ablauf, r ist der risikofreie Kurs und σ ist die implizite Volatilität., Der Terminkurs F kann aus dem Spotpreis S und dem risikofreien Kurs r berechnet werden.Alle diese Werte sind beobachtbar, mit Ausnahme der impliziten Volatilität, die aus dem beobachtbaren Preis nach der Black–Scholes-Formel berechnet werden kann.
Damit diese Funktion Geld widerspiegelt-d.h.,, damit sich das Geld erhöht, wenn sich Spot und Strike relativ zueinander bewegen – es muss sowohl in Spot S als auch in Strike K monoton sein (äquivalent vorwärts F, was in S monoton ist), wobei mindestens eines davon streng monoton ist und entgegengesetzte Richtung hat: entweder in S zunehmen und in K abnehmen (Geld anrufen) oder in S abnehmen und in K zunehmen (Geld anlegen). Etwas andere Formalisierungen sind möglich. Weitere Axiome können ebenfalls hinzugefügt werden, um ein „gültiges“ Geldsystem zu definieren.,
Diese Definition ist abstrakt und notationell schwer; In der Praxis werden relativ einfache und konkrete Geldfunktionen verwendet, und Argumente für die Funktion werden aus Gründen der Klarheit unterdrückt.
ConventionsEdit
Bei der Quantifizierung von Geld wird es als einzelne Zahl in Bezug auf Spot (oder Forward) und Strike berechnet, ohne eine Referenzoption anzugeben. Es gibt also zwei Konventionen, je nach Richtung: Call moneyyness, wo moneyyness erhöht, wenn Spot relativ zum Streik erhöht, und Put moneyyness, wo moneyyness erhöht, wenn Spot relativ zum Streik abnimmt., Diese können durch Ändern des Vorzeichens umgeschaltet werden, möglicherweise mit einem Verschiebungs-oder Skalierungsfaktor (z. B. die Wahrscheinlichkeit, dass ein Put mit strike K ITM abläuft, ist eins abzüglich der Wahrscheinlichkeit, dass ein Call mit strike K ITM abläuft, da dies komplementäre Ereignisse sind). Das Umschalten von Spot und Strike wechselt auch diese Konventionen, und Spot und Strike ergänzen sich oft in Formeln für Geld, müssen aber nicht sein. Welche Konvention verwendet wird, hängt vom Zweck ab. Die Fortsetzung verwendet Call Moneyyness-mit zunehmendem Spot steigt Moneyyness-und ist die gleiche Richtung wie die Verwendung von Call Delta als Moneyyness.,
Während Moneyyness eine Funktion von Spot und Strike ist, ist normalerweise eine davon festgelegt und die andere variiert. Bei einer bestimmten Option ist der Streik festgelegt, und verschiedene Spots bringen das Geld dieser Option zu unterschiedlichen Marktpreisen; Dies ist nützlich für die Optionspreise und das Verständnis der Black–Scholes-Formel., Umgekehrt ist der Spot bei gegebenen Marktdaten zu einem bestimmten Zeitpunkt auf den aktuellen Marktpreis fixiert, während verschiedene Optionen unterschiedliche Streiks und damit unterschiedliche Geldwerte aufweisen; Dies ist nützlich, um eine implizite Volatilitätsoberfläche zu konstruieren oder einfacher ein Volatilitätsdiagramm zu zeichnen.
Simple examplesEdit
In diesem Abschnitt werden geldpolitische Maßnahmen von einfachen, aber weniger nützlichen bis hin zu komplexeren, aber nützlicheren Maßnahmen beschrieben., Einfachere Measures of Moneyyness können sofort aus beobachtbaren Marktdaten ohne theoretische Annahmen berechnet werden, während komplexere Measures die implizite Volatilität und damit das Black–Scholes-Modell verwenden.
Die einfachste (put) moneyyness ist Fixed-Strike moneyyness, wobei M=K, und die einfachste Call moneyyness ist Fixed-Spot moneyyness, wobei M=S., Diese werden auch als absolute Volatilitätsfläche bezeichnet und entsprechen nicht wechselnden Koordinaten, sondern verwenden die Rohpreise als Maß für die Geldmenge; Die entsprechende Volatilitätsfläche mit den Koordinaten K und T (Tenor) ist die absolute Volatilitätsfläche. Das einfachste nicht-triviale Geld ist das Verhältnis dieser, entweder S/K oder sein reziprokes K / S, das als (Spot) simple Moneyyness bekannt ist, mit analoger und einfachem Geld., Herkömmlicherweise liegt die feste Größe im Nenner, während die variable Größe im Zähler liegt, also S/K für eine einzelne Option und variierende Punkte und K/S für verschiedene Optionen an einer bestimmten Stelle, z. B. beim Erstellen einer Volatilitätsfläche. Eine Volatilitätsoberfläche unter Verwendung von Koordinaten einer nicht-trivialen Moneyyness M und der Zeit bis zum Ablauf τ wird als relative Volatilitätsoberfläche (in Bezug auf die Moneyyness M) bezeichnet.
Während der Spot oft von Händlern verwendet wird, wird der Forward theoretisch bevorzugt, da er bessere Eigenschaften hat, daher wird F/K in der Fortsetzung verwendet., In der Praxis macht Spot versus Forward bei niedrigen Zinsen und kurzen Tenoren wenig Unterschied.
Die oben genannten Maßnahmen sind zeitunabhängig, aber für eine gegebene einfache Geldnot verhalten sich Optionen nahe dem Ablauf und weit vor dem Ablauf anders, da Optionen weit vor dem Ablauf mehr Zeit für die Änderung des Basiswerts haben. Dementsprechend kann man Zeit bis zur Fälligkeit in Geld investieren. Da die Streuung der brownschen Bewegung proportional zur Quadratwurzel der Zeit ist, kann man das logische einfache Geld durch diesen Faktor teilen und ergibt: ln ( F / K ) / τ ., {\displaystyle \ln \left(F/K\right){\Big /}{\sqrt {\tau }}.} Dies normalisiert sich effektiv für die Zeit bis zum Ablauf-mit diesem Maß an Geldnot, Volatilität Lächeln sind weitgehend unabhängig von der Zeit bis zum Ablauf.
Diese Kennzahl berücksichtigt nicht die Volatilität σ des Basiswerts. Im Gegensatz zu früheren Inputs ist die Volatilität nicht direkt aus Marktdaten erfassbar, sondern muss in einem Modell berechnet werden, wobei in erster Linie die implizite Volatilität im Black–Scholes-Modell verwendet wird. Dispersion ist proportional zur Volatilität, also Standardisierung durch Volatilitätsrenditen:
m = ln (F / K ) σ τ ., {\displaystyle m={\frac {\ln \left(F/K\right)}{\sigma {\sqrt {\tau }}}}.}
Dies wird als standardisierte Geldabweichung (vorwärts) bezeichnet und misst die Geldabweichung in Standardabweichungseinheiten.
In Worten ist die standardisierte Geldabweichung die Anzahl der Standardabweichungen, bei denen der aktuelle Terminkurs über dem Ausübungspreis liegt. Somit ist der Geldwert Null, wenn der Terminkurs des Basiswerts dem Ausübungspreis entspricht, wenn die Option at-the-Money-Forward ist., Die standardisierte Geldabweichung wird in Standardabweichungen von diesem Punkt gemessen, wobei ein positiver Wert eine In-the-Money-Call-Option und ein negativer Wert eine Out-of-the-Money-Call-Option bedeutet (mit umgekehrten Zeichen für eine Put-Option).
Schwarz-Scholes-Formel Hilfsvariablenedit
Die standardisierte Geldformel steht in engem Zusammenhang mit den Hilfsvariablen in der Schwarz-Scholes-Formel, nämlich den Begriffen d+ = d1 und d− = d2, die definiert sind als:
d ± = ln ( F / K ) ± ( σ 2 / 2 ) τ σ τ ., {\displaystyle d_{\pm }={\frac {\ln \left(F/K\right)\pm (\sigma ^{2}/2)\tau }{\sigma {\sqrt {\tau }}}}.,}
Die standardisierte Geldmenge ist der Durchschnitt dieser:
m = ln ( F / K ) σ τ = 1 2 ( d − + d + ) , {\displaystyle m={\frac {\ln(F/K)}{\sigma {\sqrt {\tau }}}}={\tfrac {1}{2}}\left(d_{-}+d_{+}\right),}
und sie sind geordnet als:
d − < m < d + , {\displaystyle d_{-}<m<d_{+},}
Da es sich um Einheiten von Standardabweichungen handelt, ist es sinnvoll, diese in Prozentsätze umzuwandeln, indem die kumulative Standardverteilungsfunktion N für diese Werte ausgewertet wird., Die Interpretation dieser Mengen ist etwas subtil und besteht darin, zu einer risikoneutralen Maßnahme mit spezifischer Wahl der Numéraire zu wechseln. Kurz gesagt, diese werden (für eine Call− Option) wie folgt interpretiert:
- N(d -) ist der (zukünftige Wert) Preis einer binären Call-Option oder die risikoneutrale Wahrscheinlichkeit, dass die Option ausläuft ITM, mit numéraire cash (der risikofreie Vermögenswert);
- N(m) ist der Prozentsatz, der der standardisierten Geldnot entspricht;
- N(d+) ist das Delta oder die risikoneutrale Wahrscheinlichkeit, dass die Option ausläuft ITM, mit numéraire asset.,
Diese haben die gleiche Reihenfolge, da N monoton ist (da es sich um ein CDF handelt):
N ( d−) < N ( m) < N ( d+) = Δ . {\displaystyle N(d_{-})<N(m)<N(d_{+})=\Delta .}
Von diesen ist N (d -) die (risikoneutrale) „Wahrscheinlichkeit des Auslaufens im Geld“ und damit die theoretisch korrekte prozentuale Moneyyness, mit d-die richtige moneyyness. Die prozentuale Geldmenge ist die implizite Wahrscheinlichkeit, dass das Derivat im Geld abläuft, im risikoneutralen Maß., Somit ergibt eine Moneyyness von 0 eine 50% ige Wahrscheinlichkeit, ITM auslaufen zu lassen, während eine Moneyyness von 1 eine ungefähr 84% ige Wahrscheinlichkeit ergibt, ITM auslaufen zu lassen.
Dies entspricht dem Vermögenswert nach geometrischer Brownscher Bewegung mit Drift r, der risikofreien Rate und Diffusion σ, der impliziten Volatilität. Drift ist der Mittelwert, wobei der entsprechende Median (50. Perzentil) r−σ2/2 ist, was der Grund für den Korrekturfaktor ist. Beachten Sie, dass dies die implizite Wahrscheinlichkeit ist, nicht die reale Wahrscheinlichkeit.,
Die anderen Mengen – (Prozent) standardisierte moneyyness und Delta-sind nicht identisch mit der tatsächlichen Prozent moneyyness, aber in vielen praktischen Fällen sind diese ziemlich nahe (es sei denn, die Volatilität ist hoch oder die Zeit bis zum Ablauf ist lang), und Delta wird häufig von Händlern als Maß für (Prozent) moneyyness verwendet. Delta ist mehr als Geld, mit dem (Prozent) standardisierten Geld dazwischen., So hat eine 25 Delta Call Option weniger als 25% Geld, in der Regel etwas weniger, und eine 50 Delta „ATM“ Call Option hat weniger als 50% Geld; Diese Diskrepanzen können in den Preisen von binären Optionen und vertikalen Spreads beobachtet werden. Beachten Sie, dass Delta für Puts negativ ist und somit negatives Delta verwendet wird – einheitlicher wird der absolute Wert von Delta für Call/Put-Geld verwendet.
Die Bedeutung des Faktors (σ2/2)τ ist relativ subtil., Für d-und m entspricht dies der Differenz zwischen dem Median und dem Mittelwert der geometrischen brownschen Bewegung (der Log-Normalverteilung) und ist der gleiche Korrekturfaktor in Itōs Lemma für geometrische brownsche Bewegung. Die Interpretation von d+, wie sie in Delta verwendet wird, ist subtiler und kann am elegantesten als Numéraire-Änderung interpretiert werden., Elementarer ausgedrückt ist die Wahrscheinlichkeit, dass die Option im Geld abläuft, und der Wert des Basiswerts bei der Ausübung sind nicht unabhängig – je höher der Preis des Basiswerts ist, desto wahrscheinlicher ist es, dass er im Geld abläuft, und je höher der Wert bei der Ausübung, weshalb Delta höher ist als Moneyyness.