Moneyness functionEdit
Intuitivamente parlando, moneyness e time to expiry formano un sistema di coordinate bidimensionale per valutare le opzioni (in valuta (dollaro) o in volatilità implicita), e il passaggio da spot (o forward, o strike) a moneyness è un cambiamento di variabili. Quindi una funzione moneyness è una funzione M con input il prezzo spot (o forward, o strike) e output un numero reale, che è chiamato moneyness., La condizione di un cambiamento di variabili è che questa funzione è monotona (aumento per tutti gli ingressi, o in diminuzione per tutti gli ingressi), e la funzione può dipendere da altri parametri del modello di Black–Scholes, in particolare, il tempo a scadenza, i tassi di interesse e volatilità implicita (concretamente il BANCOMAT volatilità implicita), producendo una funzione:
M ( S , K , t , r , s), la {\displaystyle M(S,K,\tau ,r,\sigma ),}
dove S è il prezzo spot del sottostante, K è il prezzo, t è il tempo di scadenza, r è il tasso privo di rischio, e s è la volatilità implicita., Il prezzo a termine F può essere calcolato dal prezzo spot S e il tasso privo di rischio r. Tutti questi sono osservabili tranne che per la volatilità implicita, che può calcolato dal prezzo osservabile utilizzando la formula Black-Scholes.
Affinché questa funzione rifletta denaro – cioè,, perché il denaro aumenti come spot e strike si muovono l’uno rispetto all’altro – deve essere monotono sia nel punto S che nello strike K (equivalentemente in avanti F, che è monotono in S), con almeno uno di questi rigorosamente monotoni, e avere direzione opposta: o aumentando in S e diminuendo in K (chiama moneyness) o diminuendo in S e aumentando in K (metti moneyness). Sono possibili formalizzazioni un po ‘ diverse. Ulteriori assiomi possono anche essere aggiunti per definire un denaro “valido”.,
Questa definizione è astratta e notazionalmente pesante; in pratica vengono utilizzate funzioni di denaro relativamente semplici e concrete e gli argomenti alla funzione vengono soppressi per chiarezza.
ConventionsEdit
Quando si quantifica il denaro, viene calcolato come un singolo numero rispetto a spot (o forward) e strike, senza specificare un’opzione di riferimento. Ci sono quindi due convenzioni, a seconda della direzione: chiama moneyness, dove moneyness aumenta se spot aumenta rispetto allo sciopero, e put moneyness, dove moneyness aumenta se spot diminuisce rispetto allo sciopero., Questi possono essere commutati cambiando segno, possibilmente con un fattore di spostamento o di scala (ad esempio, la probabilità che un put con strike K scada ITM è uno meno la probabilità che una chiamata con strike K scada ITM, in quanto questi sono eventi complementari). Commutazione spot e strike commuta anche queste convenzioni, e spot e strike sono spesso complementari nelle formule per denaro, ma non devono essere. Quale convenzione viene utilizzata dipende dallo scopo. Il sequel utilizza chiamata moneyness – come spot aumenta, moneyness aumenta – ed è la stessa direzione di utilizzare chiamata Delta come moneyness.,
Mentre il denaro è una funzione di spot e strike, di solito uno di questi è fisso e l’altro varia. Data un’opzione specifica, lo sciopero è fisso, e diversi punti producono il denaro di tale opzione a diversi prezzi di mercato; questo è utile nel prezzo delle opzioni e nella comprensione della formula di Black–Scholes., Al contrario, dati i dati di mercato in un dato momento, lo spot è fissato al prezzo di mercato corrente, mentre le diverse opzioni hanno diversi scioperi, e quindi diversi soldi; questo è utile nella costruzione di una superficie di volatilità implicita, o più semplicemente tracciando un sorriso di volatilità.
Esempi semplicimodifica
Questa sezione delinea le misure di denaro da semplici ma meno utili a più complesse ma più utili., Misure più semplici di denaro possono essere calcolate immediatamente da dati di mercato osservabili senza ipotesi teoriche, mentre misure più complesse utilizzano la volatilità implicita, e quindi il modello di Black–Scholes.
Il denaro più semplice (put) è denaro fisso, dove M=K, e il denaro più semplice è denaro fisso, dove M=S., Questi sono noti anche come denaro assoluto, e corrispondono a non cambiare le coordinate, invece utilizzando i prezzi grezzi come misure di denaro; la corrispondente superficie di volatilità, con coordinate K e T (tenore) è la superficie di volatilità assoluta. Il più semplice denaro non banale è il rapporto di questi, S / K o il suo reciproco K / S, che è noto come il denaro semplice (spot), con analogo denaro semplice in avanti., Convenzionalmente la quantità fissa è nel denominatore, mentre la quantità variabile è nel numeratore, quindi S/K per una singola opzione e punti variabili, e K/S per diverse opzioni in un dato punto, come quando si costruisce una superficie di volatilità. Una superficie di volatilità che utilizza le coordinate di un denaro non banale M e il tempo di scadenza τ è chiamata superficie di volatilità relativa (rispetto al denaro M).
Mentre lo spot è spesso usato dai trader, l’avanti è preferito in teoria, in quanto ha proprietà migliori, quindi F / K verrà utilizzato nel sequel., In pratica, per tassi di interesse bassi e tenori brevi, spot versus forward fa poca differenza.
Le misure di cui sopra sono indipendenti dal tempo, ma per un dato semplice denaro, le opzioni vicine alla scadenza e lontane dalla scadenza si comportano in modo diverso, poiché le opzioni lontane dalla scadenza hanno più tempo per il sottostante da cambiare. Di conseguenza, si può incorporare il tempo alla scadenza τ in denaro. Poiché la dispersione del moto browniano è proporzionale alla radice quadrata del tempo, si può dividere il log semplice denaro per questo fattore, ottenendo: ln (F / K ) / τ ., il nostro sito utilizza cookie tecnici e di terze parti.} Questo si normalizza efficacemente per il tempo alla scadenza-con questa misura di denaro, i sorrisi di volatilità sono in gran parte indipendenti dal tempo alla scadenza.
Questa misura non tiene conto della volatilità σ dell’attività sottostante. A differenza degli input precedenti, la volatilità non è direttamente osservabile dai dati di mercato, ma deve invece essere calcolata in alcuni modelli, principalmente utilizzando la volatilità implicita ATM nel modello Black–Scholes. La dispersione è proporzionale alla volatilità, quindi la standardizzazione per volatilità produce:
m = ln (F / K ) σ τ ., Il nostro sito utilizza cookie tecnici e di terze parti per migliorare la tua esperienza di navigazione.}
Questo è noto come moneyness standardizzato (forward), e misura moneyness in unità di deviazione standard.
In parole, il moneyness standardizzato è il numero di deviazioni standard il prezzo corrente a termine è superiore al prezzo di esercizio. Quindi il denaro è zero quando il prezzo a termine del sottostante è uguale al prezzo di esercizio, quando l’opzione è at-the-money-forward., Il moneyness standardizzato è misurato in deviazioni standard da questo punto, con un valore positivo che significa un’opzione call in-the-money e un valore negativo che significa un’opzione call out-of-the-money (con segni invertiti per un’opzione put).
Formula di Black–Scholes variabili ausiliarie
Il denaro standardizzato è strettamente correlato alle variabili ausiliarie nella formula di Black–Scholes, vale a dire i termini d+ = d1 e d− = d2, che sono definiti come:
d ± = ln ± (F / K) ± (σ 2 / 2 ) τ σ τ ., Il nostro sito utilizza cookie tecnici e di terze parti per migliorare la tua esperienza di navigazione.,}
standardizzate moneyness è la media di questi:
m = ln ( F / K ) σ τ = 1 2 ( d + d + ) , {\displaystyle m={\frac {\ln(F/K)}{\sigma {\sqrt {\tau }}}}={\tfrac {1}{2}}\left(d_{-}+d_{+}\right),}
e sono ordinati come:
d < m < d + , {\displaystyle d_{-}<m<d_{+},}
questi sono tutti in unità di deviazioni standard, ha senso convertire queste percentuali, valutando la funzione distribuzione cumulativa normale standard N per questi valori., L’interpretazione di queste quantità è piuttosto sottile e consiste nel passare a una misura neutra per il rischio con una scelta specifica di numéraire. In breve, questi sono interpretati (per una opzione call), come:
- N(d) è il (Valore Futuro) prezzo di un’opzione call binaria, o neutrali al rischio probabilità che l’opzione scade ITM, con numéraire di cassa (risk-free asset);
- N(m) è la percentuale corrispondente al livello standard moneyness;
- N(d+) è il Delta, o neutrali al rischio probabilità che l’opzione scade ITM, con numéraire bene.,
Questi hanno lo stesso ordine, poiché N è monotono (poiché è un CDF):
N ( d − ) <N ( m ) < N ( d + ) = Δ . {\displaystyle N (d_ { – })<N(m)<N(d_ {+})=\Delta .}
Di questi, N(d−) è la (rischio-neutro) “probabilità di scadenza nel denaro”, e quindi il denaro percentuale teoricamente corretto, con d− il denaro corretto. La percentuale di denaro è la probabilità implicita che il derivato scada nel denaro, nella misura neutrale al rischio., Così un moneyness di 0 produce una probabilità di 50% di scadenza ITM, mentre un moneyness di 1 produce una probabilità di circa 84% di scadenza ITM.
Ciò corrisponde all’attività che segue il moto browniano geometrico con drift r, il tasso privo di rischio, e diffusion σ, la volatilità implicita. La deriva è la media, con la corrispondente mediana (50 ° percentile) che è r−σ2/2, che è la ragione del fattore di correzione. Si noti che questa è la probabilità implicita, non la probabilità del mondo reale.,
Le altre quantità – (percentuale) moneyness e Delta standardizzate – non sono identiche all’effettiva percentuale moneyness, ma in molti casi pratici queste sono abbastanza vicine (a meno che la volatilità non sia alta o il tempo di scadenza sia lungo), e Delta è comunemente usato dai trader come misura di (percentuale) moneyness. Delta è più che denaro, con il denaro standardizzato (percentuale) in mezzo., Pertanto, un’opzione call Delta 25 ha meno del 25% di denaro, di solito leggermente inferiore, e un’opzione call “ATM” Delta 50 ha meno del 50% di denaro; queste discrepanze possono essere osservate nei prezzi delle opzioni binarie e degli spread verticali. Si noti che per put, Delta è negativo, e quindi viene utilizzato Delta negativo – in modo più uniforme, il valore assoluto di Delta viene utilizzato per call/put moneyness.
Il significato del fattore di (σ2/2)τ è relativamente sottile., Per d-e m questo corrisponde alla differenza tra la mediana e la media (rispettivamente) del moto browniano geometrico (la distribuzione log-normale), ed è lo stesso fattore di correzione nel lemma di Itō per il moto browniano geometrico. L’interpretazione di d+, come usato in Delta, è più sottile e può essere interpretata più elegantemente come cambiamento di numéraire., In termini più elementari, la probabilità che l’opzione scada nel denaro e il valore del sottostante all’esercizio non sono indipendenti: più alto è il prezzo del sottostante, più è probabile che scada nel denaro e più alto è il valore all’esercizio, quindi perché Delta è superiore al denaro.