Moneyness (Français)

moneyness functionEdit

intuitivement parlant, moneyness et time to expiration forment un système de coordonnées bidimensionnelles pour évaluer les options (soit en valeur monétaire (dollar) ou en volatilité implicite), et le passage de spot (ou forward, ou strike) à moneyness est un changement de variables. Ainsi, une fonction moneyness est une fonction M avec entrée du prix au comptant (ou forward, ou strike) et sortie d’un nombre réel, qui est appelé moneyness., La condition d’être un changement de variables est que cette fonction soit monotone (soit croissante pour toutes les entrées, soit Décroissante pour toutes les entrées), et la fonction peut dépendre des autres paramètres du modèle de Black–Scholes, notamment le délai d’expiration, les taux d’intérêt et la volatilité implicite (concrètement la volatilité implicite ATM), donnant une fonction:

M ( S, K , τ , r , σ), {\displaystyle M(S, K,\tau, r,\sigma),}

où s est le prix au comptant du sous-jacent, K est le prix d’exercice, τ est le délai d’expiration, R est le taux sans risque et σ est la volatilité implicite., Le prix à terme F peut être calculé à partir du prix au comptant S et du taux sans risque R. tous ces éléments sont observables, à l’exception de la volatilité implicite, qui peut être calculée à partir du prix observable en utilisant la formule de Black-Scholes.

pour que cette fonction reflète l’argent-c’est-à-dire,, pour que moneyness augmente à mesure que spot et strike se déplacent l’un par rapport à l’autre – il doit être monotone à la fois dans spot S et dans strike K (de manière équivalente en avant F, qui est monotone en S), avec au moins un de ces strictement monotone, et avoir une direction opposée: soit augmentant en S et diminuant en Des formalisations quelque peu différentes sont possibles. D’autres axiomes peuvent également être ajoutés pour définir une moneyness « valide ».,

cette définition est abstraite et notationnellement lourde; dans la pratique, des fonctions monétaires relativement simples et concrètes sont utilisées, et les arguments de la fonction sont supprimés pour plus de clarté.

ConventionsEdit

lors de la quantification de l’argent, il est calculé comme un seul nombre par rapport à spot (ou forward) et strike, sans spécifier d’option de référence. Il y a donc deux conventions, selon la direction: appeler moneyness, où moneyness augmente si spot augmente par rapport à strike, et mettre moneyness, où moneyness augmente si spot diminue par rapport à strike., Ceux-ci peuvent être changés en changeant de signe, éventuellement avec un facteur de décalage ou d’échelle (par exemple, la probabilité qu’un put avec la grève K expire ITM est de un moins la probabilité qu’un appel avec la grève K expire ITM, car ce sont des événements complémentaires). Changer de point et de grève change également ces conventions, et le point et la grève sont souvent complémentaires dans les formules pour l’argent, mais ne doivent pas l’être. La convention utilisée dépend de l’objectif. La suite utilise call moneyness – à mesure que spot augmente, moneyness augmente – et est la même direction que l’utilisation de Call Delta comme moneyness.,

alors que l’argent est fonction à la fois de la tache et de la frappe, l’un d’entre eux est généralement fixe et l’autre varie. Étant donné une option spécifique, la grève est fixe, et différents spots donnent la monnaie de cette option à différents prix du marché; ceci est utile dans la tarification des options et la compréhension de la formule Black–Scholes., Inversement, compte tenu des données de marché à un moment donné, le spot est fixé au prix actuel du marché, tandis que différentes options ont des frappes différentes, et donc une monnaie différente; cela est utile pour construire une surface de volatilité implicite, ou plus simplement tracer un sourire de volatilité.

exemples Simplesmodifier

Cette section décrit les mesures de moneyness de simples mais moins utiles à plus complexes mais plus utiles., Des mesures plus simples de la monnaie peuvent être calculées immédiatement à partir de données de marché observables sans aucune hypothèse théorique, tandis que des mesures plus complexes utilisent la volatilité implicite, et donc le modèle de Black–Scholes.

la monnaie la plus simple (put) est la monnaie fixe, où M=K, et la monnaie d’appel la plus simple est la monnaie fixe, où M=S., Ceux-ci sont également connus sous le nom de monnaie absolue, et correspondent à ne pas changer de coordonnées, en utilisant plutôt les prix bruts comme mesures de monnaie; la surface de volatilité correspondante, avec les coordonnées K et T (tenor) est la surface de volatilité absolue. Le moneyness non trivial le plus simple est le rapport de ceux-ci, soit S/K ou son réciproque K/s, qui est connu sous le nom de moneyness simple (spot), avec moneyness simple avant analogue., Classiquement, la quantité fixe est dans le dénominateur, tandis que la quantité variable est dans le numérateur, Donc S/K pour une seule option et des points variables, et K/S pour différentes options à un point donné, par exemple lors de la construction d’une surface de volatilité. Une surface de volatilité utilisant les coordonnées d’une monnaie non triviale M et du temps jusqu’à l’expiration τ est appelée surface de volatilité relative (par rapport à la monnaie M).

alors que le spot est souvent utilisé par les traders, le forward est préféré en théorie, car il a de meilleures propriétés, donc F / K sera utilisé dans la suite., En pratique, pour les taux d’intérêt bas et les ténors courts, le spot par rapport au forward fait peu de différence.

Les mesures ci-dessus sont indépendantes du temps, mais pour une monnaie simple donnée, les options proches de l’expiration et lointaines pour l’expiration se comportent différemment, car les options éloignées de l’expiration ont plus de temps pour que le sous-jacent change. En conséquence, on peut incorporer le temps jusqu’à la maturité τ dans l’argent. Puisque la dispersion du mouvement brownien est proportionnelle à la racine carrée du temps, on peut diviser le log moneyness simple par ce facteur, donnant: ln ⁡ ( F / K ) / τ ., {\displaystyle \ln \left(F/K\right) {\/Grande}{\sqrt {\tau }}.} Cela se normalise effectivement pour le temps jusqu’à l’expiration – avec cette mesure de l’argent, les sourires de volatilité sont en grande partie indépendants du temps jusqu’à l’expiration.

Cette mesure ne tient pas compte de la volatilité σ de l’actif sous-jacent. Contrairement aux entrées précédentes, la volatilité n’est pas directement observable à partir des données de marché, mais doit plutôt être calculée dans un modèle, principalement en utilisant la volatilité implicite ATM dans le modèle de Black–Scholes. La Dispersion est proportionnelle à la volatilité, donc la standardisation par volatilité donne:

m = ln ⁡ ( F / K ) σ τ ., {\displaystyle m={\frac {\ln \left(F/K\right)}{\sigma {\sqrt {\tau }}}}.}

ceci est connu sous le nom de moneyness standardisé (forward), et mesure la moneyness en unités d’écart-type.

En mots, la monnaie normalisée est le nombre d’écarts types dont le prix à terme actuel est supérieur au prix d’exercice. Ainsi, la moneyness est nulle lorsque le prix à terme du sous-jacent est égal au prix d’exercice, lorsque l’option est à terme., La moneyness normalisée est mesurée en écarts-types par rapport à ce point, avec une valeur positive signifiant une option d’achat dans l’argent et une valeur négative signifiant une option d’achat hors de l’argent (avec des signes inversés pour une option de vente).

formule de Black–Scholes variablesmodifier

la monnaie normalisée est étroitement liée aux variables auxiliaires de la formule de Black–Scholes, à savoir les termes d+ = d1 et d− = d2, qui sont définis comme:

D ± = LN ⁡ ( F / K ) ± ( σ 2 / 2 ) τ σ τ ., {\displaystyle d_{\h }={\frac {\ln \left(F/K\right)\h (\sigma ^{2}/2)\tau }{\sigma {\sqrt {\tau }}}}.,}

la moneyness normalisée est la moyenne de ceux − ci:

m = ln ⁡ ( F / K ) σ τ = 1 2 ( d- + d + ) , {\displaystyle M={\frac {\ln(F/K)}{\sigma {\sqrt {\tau }}}}={\tfrac {1}{2}}\left(d_ { − }+d_{+}\right),}

et ils sont ordonnés comme:

d-< m < d + , {\displaystyle d_ { – }<m<d_{+},}

car ils sont tous en unités des écarts types, il est logique de les convertir en pourcentages, en évaluant la fonction de distribution cumulative normale standard n pour ces valeurs., L’interprétation de ces quantités est quelque peu subtile et consiste à passer à une mesure neutre en termes de risque avec un choix spécifique de numéraire. En bref, ceux− ci sont interprétés (pour une option d’achat) comme suit:

• N(d -) est le prix (Valeur Future) d’une option d’achat binaire, ou la probabilité neutre en risque que l’option expirera ITM, avec numéraire cash (l’actif sans risque);
• N(m) est le pourcentage correspondant à la moneyness standardisée;
• N(d+) est le Delta, ou la probabilité neutre en risque que l’option expirera ITM, avec numéraire asset.,

ceux − ci ont le même ordre, car N est monotone (puisqu’il s’agit d’un CDF):

N ( d -) < N ( m ) < N ( d + ) = Δ . {\displaystyle N(d_{-})<N(m)<N(d_{+})=\Delta .}

parmi ceux− ci, N(d -) est la « probabilité d’expiration de l’argent » (neutre pour le risque), et donc le pourcentage théoriquement correct d’argent, avec d− l’argent correct. Le pourcentage de moneyness est la probabilité implicite que le dérivé expire dans l’argent, dans la mesure neutre pour le risque., Ainsi, une moneyness de 0 donne une probabilité de 50% D’expiration ITM, tandis qu’une moneyness de 1 donne une probabilité d’expiration ITM d’environ 84%.

cela correspond à l’actif suivant un mouvement brownien géométrique avec dérive r, le taux sans risque, et diffusion σ, la volatilité implicite. La dérive est la moyenne, la médiane correspondante (50e percentile) étant r−σ2/2, ce qui explique le facteur de correction. Notez qu’il s’agit de la probabilité implicite, pas de la probabilité réelle.,

les autres quantités – (pourcentage) moneyness standardisé et Delta – ne sont pas identiques au pourcentage réel moneyness, mais dans de nombreux cas pratiques, ils sont assez proches (sauf si la volatilité est élevée ou le temps d’expiration est long), et Delta est couramment utilisé par les traders comme une mesure de (pourcentage) moneyness. Delta est plus que moneyness, avec le (pour cent) moneyness standardisé entre les deux., Ainsi, une option D’achat 25 Delta a moins de 25% d’argent, généralement un peu moins, et une option D’achat 50 Delta « ATM » a moins de 50% d’argent; ces écarts peuvent être observés dans les prix des options binaires et des spreads verticaux. Notez que pour les puts, Delta est négatif – et donc le Delta négatif est utilisé-plus uniformément, la valeur absolue de Delta est utilisée pour l’argent call/put.

La signification du facteur de (σ2/2)τ est relativement subtile., Pour d – et m, cela correspond à la différence entre la médiane et la moyenne (respectivement) du mouvement brownien géométrique (la distribution log-normale), et est le même facteur de correction dans le lemme D’Itō pour le mouvement brownien géométrique. L’interprétation de d+, telle qu’elle est utilisée dans Delta, est plus subtile, et peut être interprétée avec le plus d’élégance comme un changement de numéro., En termes plus élémentaires, la probabilité que l’option expire dans la monnaie et la valeur du sous – jacent à l’exercice ne sont pas indépendantes-plus le prix du sous-jacent est élevé, plus il est probable qu’il expire dans la monnaie et plus la valeur à l’exercice est élevée, d’où la raison pour laquelle Delta est plus élevé