Moneyness functionEdit
intuitivamente hablando, el moneyness y el tiempo hasta la expiración forman un sistema de coordenadas bidimensionales para valorar opciones (ya sea en valor de moneda (dólar) o en volatilidad implícita), y cambiar de spot (o forward, o strike) a moneyness es un cambio de variables. Por lo tanto, una función de moneyness es una función M con la entrada del precio spot (o forward, o strike) y la salida de un número real, que se llama el moneyness., La condición de ser un cambio de variables es que esta función es monótona (ya sea aumentando para todas las entradas, o disminuyendo para todas las entradas), y la función puede depender de los otros parámetros del modelo de Black–Scholes, notablemente el tiempo hasta la expiración, las tasas de interés y la volatilidad implícita (concretamente la volatilidad implícita de ATM), produciendo una función:
M ( s, K , τ , r , σ), {\displaystyle M(S, K,\tau, r,\sigma),}
donde S es el precio al contado del subyacente, K es el precio de ejercicio, τ es el tiempo hasta la expiración, R es la tasa libre de riesgo, y σ es la volatilidad implícita., El precio forward F Se puede calcular a partir del precio spot S y la tasa libre de riesgo r. Todos estos son observables excepto la volatilidad implícita, que se puede calcular a partir del precio observable utilizando la fórmula de Black-Scholes.
para que esta función refleje el dinero-i. e.,, para que el dinero aumente como punto y golpe se mueven en relación entre sí – debe ser monótono tanto en punto S como en golpe K (equivalentemente hacia adelante F, que es monótono en S), con al menos uno de estos estrictamente monótono, y tener dirección opuesta: ya sea aumentando en S y disminuyendo en K (llamar dinero) o disminuyendo en S y aumentando en K (poner dinero). Formalizaciones algo diferentes son posibles. También se pueden agregar axiomas adicionales para definir un dinero «válido».,
esta definición es abstracta y notacionalmente pesada; en la práctica se utilizan funciones de moneyness relativamente simples y concretas, y los argumentos de la función se suprimen para mayor claridad.
ConventionsEdit
al cuantificar el dinero, se calcula como un solo número con respecto a spot (o forward) y strike, sin especificar una opción de referencia. Por lo tanto, hay dos convenciones, dependiendo de la dirección: call moneyness, donde el dinero aumenta si spot aumenta en relación con strike, y put moneyness, donde el dinero aumenta si spot disminuye en relación con strike., Estos pueden cambiarse cambiando el signo, posiblemente con un factor de desplazamiento o escala (por ejemplo, la probabilidad de que un put con strike K expire ITM es uno menos la probabilidad de que una llamada con strike K expire ITM, ya que estos son eventos complementarios). El cambio de spot y strike también cambia estas convenciones, y spot y strike son a menudo complementarios en fórmulas para el dinero,pero no es necesario. La Convención que se utilice depende del propósito. La secuela utiliza call moneyness – como spot aumenta, moneyness aumenta-y es la misma dirección que el uso de call Delta como moneyness.,
mientras que el dinero es una función tanto de spot como de strike, generalmente uno de estos es fijo, y el otro varía. Dada una opción específica, la huelga es fija, y diferentes puntos producen el dinero de esa opción a diferentes precios de mercado; esto es útil para la fijación de precios de opciones y la comprensión de la fórmula de Black–Scholes., Por el contrario, dados los datos del mercado en un momento dado, el spot se fija al precio de mercado actual, mientras que las diferentes opciones tienen diferentes golpes y, por lo tanto, dinero diferente; esto es útil para construir una superficie de volatilidad implícita, o más simplemente trazar una sonrisa de volatilidad.
ejemplos Simpleseditar
Esta sección describe las medidas de dinero desde simples pero menos útiles a más complejas pero más útiles., Las medidas más simples de dinero se pueden calcular inmediatamente a partir de datos de mercado observables sin ningún supuesto teórico, mientras que las medidas más complejas utilizan la volatilidad implícita, y por lo tanto el modelo de Black–Scholes.
el dinero más simple (put) es el dinero de golpe fijo, donde M=K, y el dinero de llamada más simple es el dinero de punto fijo, donde M=S., Estos también se conocen como moneyness absoluto, y corresponden a no cambiar las coordenadas, en lugar de utilizar los precios brutos como medidas de moneyness; la superficie de volatilidad correspondiente, con coordenadas K y t (tenor) es la superficie de volatilidad absoluta. El dinero no trivial más simple es la relación de estos, ya sea S / K o su k / s recíproco, que se conoce como el dinero simple (spot), con el dinero simple hacia adelante análogo., Convencionalmente, la cantidad fija está en el denominador, mientras que la cantidad variable está en el numerador, por lo que S/K para una sola opción y puntos variables, y K/S para diferentes opciones en un punto dado, como cuando se construye una superficie de volatilidad. Una superficie de volatilidad que utiliza coordenadas a moneyness m no trivial y tiempo hasta la expiración τ se llama la superficie de volatilidad relativa (con respecto a la moneyness M).
mientras que el spot es utilizado a menudo por los traders, El forward es preferido en teoría, ya que tiene mejores propiedades, por lo que F/K se utilizará en la secuela., En la práctica, para tipos de interés bajos y tenores cortos, spot versus forward hace poca diferencia.
las medidas anteriores son independientes del tiempo, pero para un dinero simple dado, las opciones cerca de vencimiento y lejos de vencimiento se comportan de manera diferente, ya que las opciones lejos de vencimiento tienen más tiempo para que el subyacente cambie. En consecuencia, se puede incorporar el tiempo hasta el vencimiento τ a la cantidad de dinero. Dado que la dispersión del movimiento browniano es proporcional a la raíz cuadrada del tiempo, se puede dividir el log moneyness simple por este factor, produciendo: ln ( F / K ) / τ ., {\displaystyle \LN \ left (F/K\right){\Big /}{\sqrt {\tau }}.} Esto se normaliza efectivamente para el tiempo hasta la expiración-con esta medida de dinero, las sonrisas de volatilidad son en gran medida independientes del tiempo hasta la expiración.
esta medida no tiene en cuenta la volatilidad σ del activo subyacente. A diferencia de las entradas anteriores, la volatilidad no es directamente observable a partir de los datos de mercado, sino que debe calcularse en algún modelo, principalmente utilizando la volatilidad implícita de ATM en el modelo de Black–Scholes. La dispersión es proporcional a la volatilidad, por lo que la estandarización por volatilidad produce:
m = ln ( F / K ) σ τ ., {\displaystyle m = {\frac {\LN \left(F/K\right)}{\sigma {\sqrt {\tau }}}}.}
esto se conoce como moneyness estandarizado (forward), y mide moneyness en unidades de desviación estándar.
En palabras, el moneyness estandarizado es el número de desviaciones estándar que el precio a plazo actual está por encima del precio de ejercicio. Por lo tanto, el dinero es cero cuando el precio a plazo del subyacente es igual al precio de ejercicio, cuando la opción está a plazo., El valor estandarizado se mide en desviaciones estándar desde este punto, con un valor positivo que significa una opción de compra en dinero y un valor negativo que significa una opción de compra fuera del dinero (con signos invertidos para una opción de venta).
fórmula de Black–Scholes variables auxiliariaseditar
el dinero estandarizado está estrechamente relacionado con las variables auxiliares en la fórmula de Black–Scholes, es decir, los Términos d+ = d1 y d− = d2, que se definen como:
D ± = ln ( F / K ) ± ( σ 2 / 2 ) τ σ τ ., {\displaystyle d_ {\pm } = {\frac {\LN \left(F/K\right)\pm (\sigma ^{2}/2)\tau }{\sigma {\sqrt {\tau }}}}.,}
La normalización de moneyness es el promedio de estos:
m = ln ( F / K ) σ τ = 1 2 ( d + d ) , {\displaystyle m={\frac {\ln(F/K)}{\sigma {\sqrt {\tau }}}}={\tfrac {1}{2}}\left(d_{-}+d_{+}\derecho)}
y se ordenó como:
d − < m < d + , {\displaystyle d_{-}<m<d_{+},}
Como todos estos son en unidades de desviaciones estándar, tiene sentido para convertir estos porcentajes, al evaluar el estándar normal de la función de distribución acumulativa N para estos valores., La interpretación de estas cantidades es algo sutil, y consiste en Cambiar a una medida neutral al riesgo con una elección específica de numéraire. En resumen, estos se interpretan (para una opción de compra) como:
- N(d−) es el precio (Valor Futuro) de una opción de compra binaria, o la probabilidad neutral de riesgo de que la opción expire ITM, con numéraire cash (el activo libre de riesgo);
- N(m) es el porcentaje correspondiente al dinero estandarizado;
- N(d+) es el Delta, o la probabilidad neutral de riesgo de que la opción expire ITM, con numéraire activo.,
Estos tienen el mismo orden, como N es monótona (ya que es un CDF):
N ( d − ) < N ( m ) < N ( d + ) = Δ . {\displaystyle N(d_{-})<N(m)<N(d_{+})=\Delta .}
de estos, N (d−) es la (Riesgo-neutral) «probabilidad de expirar en el dinero», y por lo tanto el porcentaje de dinero teóricamente correcto, con d− el dinero correcto. El porcentaje de dinero es la probabilidad implícita de que el derivado expire en el dinero, en la medida de riesgo neutral., Por lo tanto, una cantidad de dinero de 0 produce una probabilidad del 50% de expirar ITM, mientras que una cantidad de dinero de 1 produce una probabilidad de aproximadamente 84% de expirar ITM.
esto corresponde al activo siguiendo el movimiento browniano geométrico Con deriva r, La tasa libre de riesgo, y difusión σ, la volatilidad implícita. Deriva es la media, con la mediana correspondiente (percentil 50) siendo R-σ2 / 2, que es la razón del factor de corrección. Tenga en cuenta que esta es la probabilidad implícita, no la probabilidad del mundo real.,
las otras cantidades – (porcentaje) moneyness estandarizado y Delta – no son idénticas al porcentaje real de moneyness, pero en muchos casos prácticos estos son bastante cerca (a menos que la volatilidad es alta o el tiempo de vencimiento es largo), y Delta es comúnmente utilizado por los comerciantes como una medida de (porcentaje) moneyness. Delta es más que moneyness, con el (porcentaje) moneyness estandarizado en el medio., Por lo tanto, una opción de compra de 25 Delta tiene menos del 25% de moneyness, por lo general un poco menos, y una opción de compra de 50 Delta «ATM» tiene menos del 50% de moneyness; estas discrepancias se pueden observar en los precios de las opciones binarias y diferenciales verticales. Tenga en cuenta que para puts, Delta es negativo, y por lo tanto Delta negativo se utiliza – más uniformemente, el valor absoluto de Delta se utiliza para llamar/poner dinero.
el significado del factor de (σ2/2)τ es relativamente sutil., Para d-y m esto corresponde a la diferencia entre la mediana y la media (respectivamente) del movimiento browniano geométrico (la distribución logarítmica normal), y es el mismo factor de corrección En el lema de Itō para el movimiento browniano geométrico. La interpretación de D+, tal como se usa en Delta, es más sutil, y puede ser interpretada más elegantemente como cambio de numéraire., En términos más elementales, la probabilidad de que la opción expire en el dinero y el valor del subyacente en el ejercicio no son independientes: cuanto mayor sea el precio del subyacente, más probable será que expire en el dinero y mayor será el valor en el ejercicio, por lo que Delta es más alto que el dinero.