Moneyness functionEdit
Intuitivně řečeno, moneyness a čas vypršení platnosti formě dvou-dimenzionální systém souřadnic pro oceňování opcí (buď v měně (dolar) hodnotu, nebo v implikovaná volatilita), a měnící se z místa (nebo vpřed, nebo stávka) na moneyness je změna proměnných. Funkce moneyness je tedy funkce M se vstupem spotové ceny (nebo vpřed nebo úder) a výstupem skutečného čísla, které se nazývá moneyness., Podmínkou je změna proměnných je, že tato funkce je monotónní (buď rostoucí, pro všechny vstupy, nebo klesající, pro všechny vstupy), a funkce mohou záviset na dalších parametrech Black–Scholes model, zejména čas k uplynutí doby, úrokové sazby a implikované volatility (konkrétně ATM implikovaná volatilita), čímž se získá funkce:
M ( S , K , τ , r , σ ) , {\displaystyle M(S,K,\tau ,r,\sigma ),}
, kde S je spotová cena podkladového nástroje, K je realizační cena, τ je čas platnosti, r je bezriziková úroková míra a σ je volatilita., Forwardová cena F může být vypočítána z spotové ceny S a bezrizikové sazby r. to vše jsou pozorovatelné s výjimkou implikované volatility,které lze vypočítat z pozorovatelné ceny pomocí vzorce Black-Scholes.
aby tato funkce odrážela peníze – tj., pro moneyness zvýšit na místě a udeřit pohybovat ve vztahu k sobě – to musí být monotónní v obou místě a udeřit K (ekvivalentně vpřed F, která je monotónní v Y), s alespoň jedním z těchto striktně monotónní, a mají opačný směr: buď rostoucí a klesající v K (call moneyness) nebo klesající a rostoucí v K (moneyness). Jsou možné poněkud odlišné formalizace. Další axiomy mohou být také přidány k definování „platné“ peníze.,
tato definice je abstraktní a notačně těžká; v praxi se používají relativně jednoduché a konkrétní funkce moneyness a argumenty k funkci jsou potlačeny pro přehlednost.
ConventionsEdit
Při kvantifikaci moneyness, je vypočítána jako jediné číslo, s ohledem na místo (nebo dopředu) a strike, bez určení referenční volba. Existují tedy dvě úmluvy, a to v závislosti na směru: call moneyness, kde moneyness se zvyšuje, pokud spot zvyšuje relativní udeřit, a dát moneyness, kde moneyness se zvyšuje, pokud místo klesá relativní udeřit., Tyto lze přepínat změnou podepsat, případně s posunem nebo faktor měřítka (např. pravděpodobnost, že opce s realizační K skončí ITM je jedna mínus pravděpodobnost, že volání s realizační K skončí ITM, jako jsou doplňkové akce). Přepínání spot a strike také přepne tyto konvence, a spot a strike jsou často komplementární ve vzorcích pro moneyness, ale nemusí být. Která úmluva se používá, závisí na účelu. Pokračování používá call moneyness – jak se místo zvyšuje, moneyness se zvyšuje-a je stejným směrem jako použití Call Delta jako moneyness.,
zatímco moneyness je funkcí bodu i úderu, obvykle je jedna z nich pevná a druhá se liší. Vzhledem k konkrétní možnosti je stávka pevná a různá místa přinášejí moneyness této možnosti za různé tržní ceny; to je užitečné při oceňování opcí a pochopení vzorce Black–Scholes., Naopak, vzhledem k tomu, údaje o trhu v daném okamžiku v čase, na místě je stanovena na aktuální tržní cena, zatímco různé možnosti mají různé údery, a proto různé moneyness; to je užitečné při výpočtu implicitní volatility povrchu, nebo více jednoduše vykreslování volatility smile.
jednoduché příkladyedit
tato část popisuje opatření moneyness od jednoduchých, ale méně užitečných až po složitější, ale užitečnější., Jednodušší opatření moneyness lze okamžitě vypočítat z pozorovatelných tržních dat bez teoretických předpokladů, zatímco složitější opatření používají implikovanou volatilitu, a tedy model Black–Scholes.
nejjednodušší (dát) moneyness je pevná-strike moneyness, kde M=K, a nejjednodušší zavolat moneyness je pevná místě moneyness, kde M=S., Tyto jsou také známé jako absolutní moneyness, a odpovídají nemění souřadnice, namísto použití surového ceny jako opatření moneyness; odpovídající těkavost povrchu, souřadnice s K a T (tenor) je absolutní volatility povrchu. Nejjednodušší netriviální moneyness je poměr těchto, buď S/K nebo jeho převrácená hodnota K/S, který je známý jako (místo) jednoduché moneyness, s obdobným vpřed jednoduché moneyness., Obvykle fixní množství je ve jmenovateli, zatímco proměnná veličina v čitateli, tak S/K pro jedinou možnost a různé skvrny, a K/S pro různé možnosti v daném místě, jako při výpočtu volatility povrchu. Povrch volatility pomocí souřadnic netriviální moneyness M a čas vypršení τ se nazývá relativní volatilita povrch (s ohledem na moneyness M).
zatímco místo je často používáno obchodníky, vpřed je preferován teoreticky, protože má lepší vlastnosti, takže F/K bude použit v pokračování., V praxi, u nízkých úrokových sazeb a krátkých tenorů, spot versus forward dělá malý rozdíl.
výše uvedená opatření jsou nezávislé na čase, ale pro daný jednoduché moneyness, možnosti blízko platnosti a daleko po uplynutí chovat jinak, jako možnosti, daleko od uplynutí mít více času na hlubších změnit. V souladu s tím, jeden může zahrnovat čas do splatnosti τ do moneyness. Protože rozptyl Brownova pohybu je úměrná odmocnině z času, jeden může rozdělit protokolu jednoduché moneyness tímto faktorem, čímž se získá: ln ( F / K ) / τ ., {\displaystyle \ ln \ left (F/K\right) {\Big/} {\sqrt {\tau }.} To se účinně normalizuje na dobu do vypršení platnosti-s touto mírou moneyness, volatility úsměvy jsou do značné míry nezávislé na čase vypršení platnosti.
toto opatření nezohledňuje volatilitu σ podkladového aktiva. Na rozdíl od předchozích vstupů není volatilita přímo pozorovatelná z tržních dat,ale musí být místo toho vypočtena v nějakém modelu, především pomocí implikované volatility ATM v modelu Black–Scholes. Rozptyl je úměrný volatilitě, takže standardizace podle výnosů volatility:
m = ln ( F / k ) σ τ ., {\displaystyle m={\frac {\ln \ left (F / K \ right)} {\sigma {\sqrt {\tau }}}}.}
toto je známé jako standardizovaná moneyness (forward) a měří moneyness v jednotkách směrodatných odchylek.
slovy, standardizovaná moneyness je počet směrodatných odchylek aktuální forwardová cena je nad stávkovou cenou. Peněžitost je tedy nulová, když se forwardová cena podkladového aktiva rovná ceně stávky, když je opce na-The-money-forward., Standardizované moneyness je měřeno ve směrodatných odchylkách od tohoto bodu, s pozitivní hodnota znamená in-the-money call opce, a zápornou hodnotu, což znamená, že out-of-the-money opce (s příznaky obrátil na opci).
Black–Scholes vzorec pomocné variablesEdit
standardizované moneyness je úzce spjat do pomocných proměnných v Black–Scholes vzorec, konkrétně jde d+ = d1 a d = d2, které jsou definovány jako:
d ± = ln ( F / K ) ± ( σ 2 / 2 ) τ σ τ ., {\displaystyle d_{\pm }={\frac {\ln \left(F/K\right)\pm (\sigma ^{2}/2)\tau }{\sigma {\sqrt {\tau }}}}.,}
standardizované moneyness je průměr z těchto:
m = ln ( F / K ) σ τ = 1 2 ( d + d + ) , {\displaystyle m={\frac {\ln(F/K)}{\sigma {\sqrt {\tau }}}}={\tfrac {1}{2}}\left(d_{-}+d_{+}\right),}
a jsou uspořádány jako:
d − < m < d + , {\displaystyle d_{-}<m<d_{+},}
Jako tyto jsou v jednotkách směrodatné odchylky, to dává smysl, aby převést na procenta, na základě vyhodnocení standardní normální kumulativní distribuční funkce N pro tyto hodnoty., Interpretace těchto veličin je poněkud jemná a spočívá v přechodu na rizikově neutrální opatření se specifickou volbou numéraire. Stručně řečeno, tyto jsou interpretovány (pro call opce) jako:
- N(d) je (Budoucí Hodnota) cena binární opce, nebo riziko-neutrální pravděpodobnost, že opce skončí ITM, s numéraire hotovosti (bezrizikové aktivum);
- N(m) je procento odpovídající standardizované moneyness;
- N(d+) je to Delta, nebo riziko-neutrální pravděpodobnost, že opce skončí ITM, s numéraire aktiv.,
Tyto mají stejné uspořádání, jako N je monotónní (protože to je CDF):
N ( d ) < N ( m ) < N ( d + ) = Δ . {\displaystyle N(d_{-})<N(m)<N(d_{+})=\Delta .}
z nich, N(d−) je (rizikově neutrální) „pravděpodobnost vypršení platnosti v penězích“, a tedy teoreticky správná procentní moneyness, S D-správnou moneyness. Procentuální moneyness je implikovaná pravděpodobnost, že derivát vyprší v penězích, v rizikově neutrálním opatření., Tak moneyness 0 dává 50% pravděpodobnost vypršení ITM, zatímco moneyness 1 poskytuje přibližně 84% pravděpodobnost ukončení ITM.
To odpovídá aktiv následující geometrický Brownův pohyb s driftem r, míra rizika-free, a rozptylu σ, implikovaná volatilita. Drift je průměr, přičemž odpovídající medián (50. percentil) je r−σ2/2, což je důvod korekčního faktoru. Všimněte si, že toto je implikovaná pravděpodobnost, nikoli pravděpodobnost reálného světa.,
další množství, – (procenta) standardizované moneyness a Delta – nejsou shodné se skutečným procent moneyness, ale v mnoha praktických případech jsou docela blízko (pokud volatilita je vysoká nebo čas vypršení platnosti je dlouho), a Delta je běžně používán obchodníky jako míra (%) moneyness. Delta je více než moneyness, s (procento) standardizovaná moneyness mezi tím., Tedy 25 Delta call opce má méně než 25% moneyness, obvykle o něco méně, a 50 Delta „ATM“ call opce má méně než 50% moneyness; tyto rozdíly lze pozorovat v ceny binární opce a vertikální spready. Všimněte si, že pro put je Delta záporná, a proto se používá záporná Delta – jednotněji se pro volání/vložení peněz používá absolutní hodnota delty.
význam faktoru (σ2/2)τ je relativně jemný., Pro d− a m to odpovídá rozdílu mezi mediánem a střední (v uvedeném pořadí) geometrický Brownův pohyb (log-normální rozdělení), a je stejný korekční faktor v Itō je lemma pro geometrický Brownův pohyb. Interpretace d+, jak se používá v deltě, je jemnější a lze ji interpretovat nejelegantněji jako změnu numéraire., V další základní pojmy, pravděpodobnost, že opce skončí v penězích a hodnotě podkladového na cvičení nejsou nezávislé – vyšší cena podkladového aktiva, tím větší je pravděpodobnost, že skončí v penězích a vyšší hodnota při cvičení, proto se Delta je vyšší než moneyness.