Siehe Liste der zweiten Momente der Fläche für andere Formen.,\mathrm {d} A=\int _{-{\frac {b}{2}}}^{\frac {b}{2}}\int _{-{\frac {h}{2}}}^{\frac {h}{2}}y^{2}\,\mathrm {d} y\,\mathrm {d} x=\int _{-{\frac {b}{2}}}^{\frac {b}{2}}{\frac {1}{3}}{\frac {h^{3}}{4}}\,\mathrm {d} x={\frac {bh^{3}}{12}}\\I_{y}&=\iint \limits _{R}x^{2}\,\mathrm {d} A=\int _{-{\frac {b}{2}}}^{\frac {b}{2}}\int _{-{\frac {h}{2}}}^{\frac {h}{2}}x^{2}\,\mathrm {d} y\,\mathrm {d} x=\int _{-{\frac {b}{2}}}^{\frac {b}{2}}hx^{2}\,\mathrm {d} x={\frac {b^{3}h}{12}}\end{axis}}
Mit dem Satz der senkrechten Achse erhalten wir den Wert von J z {\displaystyle J_{z}}.,
J z = I x + I y = b h 3 12 h + b 3 12 = b h 12 ( b 2 + h 2 ) {\displaystyle J_{z}=I_{x}+I_{y}={\frac {bh^{3}}{12}}+{\frac {hb^{3}}{12}}={\frac {bh}{12}}\left(b^{2}+h^{2}\right)}
Ring zentriert auf originEdit
Annulus mit Innenradius r1 und Außenradius r2
Betrachten Sie einen Ring, dessen Mitte am Ursprung, außerhalb der radius ist r 2 {\displaystyle r_{2}} , und Innenradius r 1 {\displaystyle r_{1}} . Aufgrund der Symmetrie des Annulus liegt auch der Schwerpunkt am Ursprung., Wir können das polare Trägheitsmoment Jz {\displaystyle J_{z}} über die z {\displaystyle z} – Achse durch die Methode der zusammengesetzten Formen bestimmen. Dieses polare Trägheitsmoment entspricht dem polaren Trägheitsmoment eines Kreises mit dem Radius r 2 {\displaystyle r_{2}} minus dem polaren Trägheitsmoment eines Kreises mit dem Radius r 1 {\displaystyle r_{1}} , beide zentriert am Ursprung. Lassen Sie uns zunächst das polare Trägheitsmoment eines Kreises mit dem Radius r {\displaystyle r} in Bezug auf den Ursprung ableiten., In diesem Fall ist es einfacher, J z {\displaystyle J_{z}} direkt zu berechnen , da wir bereits r 2 {\displaystyle r^{2}} haben, das sowohl eine x {\displaystyle x} – als auch eine y {\displaystyle y} – Komponente hat. Anstatt wie im vorherigen Abschnitt den zweiten Flächenmoment aus kartesischen Koordinaten zu erhalten, berechnen wir I x {\displaystyle I_{x}} und J z {\displaystyle J_{z}} direkt unter Verwendung von Polarkoordinaten.,b3be53f037″>
=\iint \r _{R}r^{2}\,\mathhrm {d} A=\int _{0}^{2\pi }\int _{0}^{r}r^{2}\left(r\,\mathhrm {d} r\,\mathhrm {d} \theta \right)=\int _{0}^{2\pi }\int _{0}^{r}r^{3}\,\mathrm {d} r\,\mathrm {d} \theta \\&=\int _{0}^{2\pi }{\frac {r^{4}}{4}}\,\mathrm {d} \theta ={\frac {\pi }{2}}r^{4}\end{aligned}}}
Nun ist das polare Trägheitsmoment um die z {\displaystyle z} – Achse für einen Annulus einfach, wie oben angegeben, die Differenz der zweiten Flächenmomente eines Kreises mit dem Radius r 2 {\displaystyle r_{2}} und eines Kreises mit dem Radius r 1 {\displaystyle r_{1}} .,
J z = J z -, r 2 − J z , r 1 = π 2 r 2 4 π 2 r 1 4 = π 2 ( r 2 4 r 1 4 ) {\displaystyle J_{z}=J_{z,r_{2}}-J_{z,r_{1}}={\frac {\pi }{2}}r_{2}^{4}-{\frac {\pi }{2}}r_{1}^{4}={\frac {\pi }{2}}\left(r_{2}^{4}-r_{1}^{4}\right)}
Alternativ könnten wir ändern die Grenzen des d r {\displaystyle \mathrm {d} r} integral die erste Zeit, um zu reflektieren die Tatsache, dass es ein Loch. Dies würde so gemacht werden.,r 2 r 2 ( r d r d θ ) = ∫ 0 2 π ∫ r 1 r 2 r 3 d r d θ = ∫ 0 2 π d θ = π 2 ( r 2 4 − r 1 4 ) {\displaystyle {\begin{pi}J_{z}&=\iint \pi _{R}r^{2}\,\mathrm {d} A=\int _{0}^{2\pi }\int _{r_{1}}^{r_{2}}r^{2}\left(r\,\mathrm {d} r\,\mathrm {d} \theta \right)=\int _{0}^{2\pi }\int _{r_{1}}^{r_{2}}r^{3}\,\mathrm {d} r\,\mathrm {d} \theta \\&=\int _0}^{2\pi }\left\,\mathrm{d} \theta ={\frac {\pi} {2}}\left(r_{2}^{4}-r_{1}^{4}\right)\end{aligned}}}
Any polygonEdit
Ein einfaches Polygon., Hier ist n = 6 {\displaystyle n=6}, Hinweis Punkt “ 7 “ ist identisch mit Punkt 1.
Der zweite Moment der Fläche über den Ursprung für jedes einfache Polygon auf der XY-Ebene kann im Allgemeinen berechnet werden, indem Beiträge aus jedem Segment des Polygons summiert werden, nachdem der Bereich in eine Reihe von Dreiecken unterteilt wurde. Diese Formel bezieht sich auf die Schnürsenkel-Formel und kann als Sonderfall des Green-Theorems angesehen werden.
Es wird angenommen, dass ein Polygon n {\displaystyle n} Scheitelpunkte hat, die gegen den Uhrzeigersinn nummeriert sind., Wenn Polygonscheitelpunkte im Uhrzeigersinn nummeriert werden, sind die zurückgegebenen Werte negativ, aber absolute Werte korrekt.,y i + 1-x i + 1 y i) ( x i y i + 1 + 2 x i y i + 2 x i + 1 y i + 1 + x i + 1 y i) {\displaystyle {\begin{aligned}I_{y}&={\frac {1}{12}}\sum _{i=1}^{n}\left(x_{i}y_{i+1}-x_{i+1}y_{i}\right)\left(x_{i}^{2}+x_{i}x_{i+1}+x_{i+1}^{2}\right)\\I_{x}&={\frac {1}{12}}\sum _{i=1}^{n}\left(x_{i}y_{i+1}-x_{i+1}y_{i}\right)\left(y_{i}^{2}+y_{i}y_{i+1}+y_{i+1}^{2}\right)\\I_{xy}&={\frac {1}{24}}\Summe _{i=1}^{n}\left(x_{i}y_{i+1}-x_{i+1}y_{i}\right)\left(x_{i}y_{i+1}+2x_{i}y_{i}+2x_{i+1}y_{i+1}+x_{i+1}y_{i}\right)\end{aligned}}}