Volumen

Die obigen Formeln können verwendet werden, um anzuzeigen, dass die Volumina eines Kegels, einer Kugel und eines Zylinders mit demselben Radius und derselben Höhe wie folgt im Verhältnis 1 : 2 : 3 liegen.,

Sei der Radius r und die Höhe h (was 2r für die Kugel ist), dann ist das Volumen des Kegels

1 3 π r 2 h = 1 3 π r 2 ( 2 r ) = ( 2 3 π r 3 ) × 1 , {\displaystyle {\frac {1}{3}}\pi r^{2}h={\frac {1}{3}}\pi r^{2}\left(2r\right)=\left({\frac {2}{3}}\pi r^{3}\rechts)\mal 1,}

das Volumen der kugel ist

4 3 π r 3 = ( 2 3 π r 3 ) × 2 , {\displaystyle {\frac {4}{3}}\pi r^{3}=\links({\frac {2}{3}}\pi r^{3}\rechts)\mal 2,}

während das volumen der Zylinder ist

π r 2 h = π r 2 ( 2 r ) = ( 2 3 π r 3 ) × 3., {\displaystyle \pi r^{2}h=\pi r^{2}(2r)=\left({\frac {2}{3}}\pi r^{3}\right)\times 3.}

Die Entdeckung des 2 : 3-Verhältnisses der Volumina von Kugel und Zylinder wird Archimedes zugeschrieben.

Volumenformelableitungsedit

SphereEdit

Das Volumen einer Kugel ist das Integral einer unendlichen Anzahl von unendlich kleinen kreisförmigen Scheiben der Dicke dx. Die Berechnung für das Volumen einer Kugel mit Mittelpunkt 0 und radius r ist wie folgt.

Die Fläche der kreisförmigen Scheibe ist π r 2 {\displaystyle \pi r^{2}} .,

Der Radius der kreisförmigen Scheiben, der so definiert ist, dass die x-Achse senkrecht durch sie hindurchschneidet, ist

y = r 2 − x 2 {\displaystyle y={\sqrt {r^{2}-x^{2}}}}

oder

z = r 2 − x 2 {\displaystyle z={\sqrt {r^{2}-x^{2}}}

wobei y oder z genommen werden kann, um den Radius einer Scheibe an einem bestimmten x wert.

Mit y als der disk radius das Volumen der Kugel berechnet werden kann

∫ − r r π y 2 d x = ∫ − r r π ( r 2 − x 2 ) d x . {\displaystyle \int _{-r}^{r}\pi y^{2}\,dx=\int _{-r}^{r}\pi \left(r^{2}-x^{2}\right)\,dx.,}

Nun

∫ − r r π r 2 d x − ∫ − r r π x 2 d x = π ( r 3 + r 3 ) − π 3 ( r 3 + r 3 ) = 2 π r 3 − 2 π r 3 3 . {\displaystyle \int _{- r}^{r}\pi r^{2}\, dx – \int _{- r}^{r}\pi x^{2}\, dx=\pi \left(r^{3}+r^{3}\right) – {\frac {\pi }{3}} \ left (r^{3}+r^{3}\right)=2\pi r^{3} – {\frac {2\pi r^{3}}{3}}.}

die Kombination ergibt V = 4 3 π r 3 . {\displaystyle V={\frac {4}{3}}\pi r^{3}.}

Diese Formel kann schneller mit der Formel für die Oberfläche der Kugel abgeleitet werden, die 4 π r 2 {\displaystyle 4\pi r^{2}} ist ., Das Volumen der Kugel besteht aus Schichten von infinitesimal dünnen kugelschalen, und die Kugel Volumen ist gleich

∫ 0 r 4 π r 2 d r = 4 3 π r 3 . {\displaystyle \int _{0}^{r}4\pi r^{2}\,dr={\frac {4}{3}}\pi r^{3}.}

ConeEdit

Der Kegel, ist eine Art Pyramidenform. Die Grundgleichung für Pyramiden, ein Drittel mal Basis mal Höhe, gilt auch für Kegel.

Unter Verwendung von Kalkül ist das Volumen eines Kegels jedoch das Integral einer unendlichen Anzahl von unendlich dünnen kreisförmigen Scheiben der Dicke dx., Die Berechnung für das Volumen eines Kegels der Höhe h, dessen Basis bei (0, 0, 0) mit Radius r zentriert ist, ist wie folgt.

Der Radius jeder kreisförmigen Scheibe ist r, wenn x = 0 und 0, wenn x = h, und variiert linear dazwischen-das heißt,

r h-x h. {\displaystyle r{\frac {h-x}{h}}.}

Die Fläche der kreisförmigen Scheibe ist dann

π ( r h, x − h ) 2 = π r 2 ( h − x ) 2 h 2 . {\displaystyle \pi \left(r{\frac {h-x}{h}}\right)^{2}=\pi r^{2}{\frac {(h-x)^{2}}{h^{2}}}.,}

Das Volumen des Kegels kann dann berechnet werden als

∫ 0 h π r 2 ( h − x ) 2 h 2 d x , {\displaystyle \int _{0}^{h}\pi r^{2}{\frac {(h-x)^{2}}{h^{2}}}dx}

und nach der Extraktion des Konstanten

π r 2 h 2 ∫ 0 h ( h − x ) 2 d x {\displaystyle {\frac {\pi r^{2}}{h^{2}}}\int _{0}^{h}(h-x)^{2}dx}

die Integration von gibt uns

π r 2 h 2 h 3 3 ) = 1 3 π r 2 h . {\displaystyle {\frac {\pi r^{2}}{h^{2}}\left ({\frac {h^{3}}{3}}\rechts)={\frac {1}{3}}\pi r^{2}h.}

Polyederedit