volymförhållanden för en kon, sfär och cylinder med samma radie och höjd
en kon, sfär och cylinder med radie r och höjd h
ovanstående formler kan användas för att visa att volymerna av en kon, sfär och cylinder med samma radie och höjd är i förhållandet 1 : 2 : 3, enligt följande.,
låt radien vara r och höjden vara h (vilket är 2r för sfären), då är konens volym
1 3 π r 2 h = 1 3 π r 2 ( 2 r ) = ( 2 3 π r 3 ) × 1 , {\displaystyle {\frac {1}{3}}\pi r^{2}h={\frac {1}{3}}\pi r^{2}\left(2R\right)=\left({\frac {1}}\pi r^{2}\left ( 2r\right) = \left ({\frac {2} {3}}\pi r^{3}\right)\times 1,}
sfärens volym är
4 3 π r 3=(2 3 π r 3) × 2, {\displaystyle {\frac {4} {3}}\pi r^{3} = \ Left ({\frac {2} {3}} \ pi r ^ {3} \ right) \ times 2,}
medan cylinderns volym är
π r 2 h = π r 2 (2 r) = (2 3 π r 3) × 3., {\displaystyle \ pi r^{2}h= \ pi r^{2} (2r)=\left ({\frac {2}{3}}\pi r^{3}\right)\times 3.}
upptäckten av förhållandet 2 : 3 av sfärens volymer och cylindern krediteras Archimedes.
volume formula derivationsEdit
SphereEdit
volymen av en sfär är en integrerad del av ett oändligt antal infinitesimally små cirkulära skivor av tjocklek DX. Beräkningen för volymen av en sfär med center 0 och radie r är som följer.
ytan på den cirkulära disken är π r 2 {\displaystyle \pi r^{2}} .,
radien för de cirkulära skivorna, definierade så att X-axeln skär vinkelrätt genom dem, är
y = r 2 − x 2 {\displaystyle y={\sqrt {r^{2}-x^{2}}}}
eller
z = r 2 − x 2 {\displaystyle z={\sqrt {r^{2}-x^{2}}}}
där y eller z kan tas för att representera radien för en disk vid ett visst x-värde.
genom att använda y som skivradie kan sfärens volym beräknas som
− r r π y 2 D x = rir r π ( r 2 − x 2 ) D x . {\displaystyle \ int _{- r}^{r} \ pi y^{2}\, dx = \ int _{- r}^{r} \ pi \ left (r^{2} – x^{2} \ right)\, dx.,}
nu
första hjälpen r π r 2 D x − r r π x 2 D x = π ( r 3 + r 3) − π 3 ( r 3 + r 3 ) = 2 π r 3 − 2 π r 3 3 . {\displaystyle \ int _{- r}^{r} \ pi r^{2}\, dx – \ int _{- r}^{r} \ pi x^{2}\, dx = \ pi \ left (r^{3} + r^{3} \ right) – {\frac {\pi }{3}} \ left(r^{3} + r^{3} \ right)=2 \ pi r^{3} – {\frac {2 \ pi r^{3}}{3}}.}
kombinera utbyten V = 4 3 π r 3 . {\displaystyle v = {\frac {4}{3}}\pi r^{3}.}
denna formel kan härledas snabbare med formeln för sfärens yta, vilket är 4 π r 2 {\displaystyle 4 \ pi r^{2}}., Sfärens volym består av skikt av infinitesimalt tunna sfäriska skal, och sfärens volym är lika med
trip 0 R 4 π r 2 d r = 4 3 π r 3 . {\displaystyle \ int _{0}^{r}4 \ pi r^{2}\, dr = {\frac {4}{3}} \ pi r^{3}.}
ConeEdit
konen är en typ av pyramidform. Den grundläggande ekvationen för pyramider, en tredjedel gånger bas gånger höjd, gäller även koner.
med hjälp av kalkyl är volymen av en kon integral av ett oändligt antal infinitesimally tunna cirkulära skivor med tjocklek DX., Beräkningen för volymen av en kon av höjd h, vars bas är centrerad vid (0, 0, 0) med radie r, är som följer.
radien för varje cirkulär disk är r om x = 0 och 0 om x= h, och varierar linjärt mellan-det vill säga
r h − x h . {\displaystyle r{\frac {h-x}{h}}.}
ytan på den cirkulära skivan är då
π ( r h − x h ) 2 = π r 2 ( h − x ) 2 h 2 . {\displaystyle \ pi \ left(r{\frac {h-x}{h}}\right)^{2}=\pi r^{2}{\frac {(h-x)^{2}}{h^{2}}}.,}
konens volym kan sedan beräknas som
0 h π r 2 ( h − x ) 2 h 2 D x , {\displaystyle \int _{0}^{h}\pi r^{2}{\frac {(h-x)^{2}}{h^{2}}}DX,}
och efter extraktion av konstanterna
π r 2 h 2 0 H ( h − x ) 2 D x {\displaystyle {\frac {\frac {\pi r^{2}} {h^{2}}} \ int _{0}^{h}(H-x)^{2}DX}
integrering ger oss
π r 2 h 2 ( h 3 3 ) = 1 3 π r 2 h . {\displaystyle {\frac {\pi r^{2}}{h^{2}}} \ left ({\frac {h^{3}}{3}}\höger) = {\frac {1}{3}} \ pi r^{2}h.}