Momentum (Svenska)

Momentum är en vektorkvantitet: den har både magnitud och riktning. Eftersom momentum har en riktning kan den användas för att förutsäga den resulterande riktningen och rörelsehastigheten för objekt efter att de kolliderar. Nedan beskrivs de grundläggande egenskaperna hos momentum i en dimension. Vektorekvationerna är nästan identiska med de skalära ekvationerna (se flera dimensioner).

enkelpartikel

en partikels momentum representeras konventionellt av bokstaven p., Det är produkten av två kvantiteter, partikelns massa (representerad av bokstaven m) och dess hastighet (v):

p = m v . {\displaystyle P = MV.}

enheten av momentum är produkten av mass-och hastighetsenheterna. I SI-enheter, om massan är i kilo och hastigheten är i meter per sekund, är momentum i kilogram meter per sekund (kg m/s). I kg-enheter, om massan är i gram och hastigheten i centimeter per sekund, är momentum i gram centimeter per sekund (g.cm/s).

att vara en vektor har momentum magnitud och riktning., Till exempel har ett 1 kg modellflygplan, som reser rakt norrut vid 1 m/s i rak och jämn flygning, en momentum på 1 kg m/s rakt norrut mätt med hänvisning till marken.

många partiklar

momentum för ett partikelsystem är vektorsumman av deras momenta. Om två partiklar har respektive massor m1 och m2, och hastigheter v1 och v2, är den totala momentum

p = p 1 + p 2 = m 1 v 1 + m 2 v 2 . {\displaystyle {\begin{aligned}p&=p_{1} + p_{2}\ \ &=M_{1}v_{1}+m_{2}v_{2}\,.,\ end{aligned}}}

momenta av mer än två partiklar kan läggas till mer allmänt med följande:

p = I m i v i . {\displaystyle P = \ sum _{i}m_{i}v_{i}.}

ett partikelsystem har en masscentrum, en punkt som bestäms av den viktade summan av sina positioner:

r cm = M 1 R 1 + m 2 r 2 + m 1 + m 2 + trip . {\displaystyle r_ {\text{cm}}={\frac {M_{1}r_{1}+m_{2}r_{2} + \cdots }{M_{1} + m_{2} + \cdots}} = {\frac {\sum \ limits _{I}m_{i}r_{i}} {\sum \ limits _{I}m_{i}}}.,}

om en eller flera av partiklarna rör sig, kommer systemets massa i allmänhet att röra sig också (om inte systemet är i ren rotation runt det). Om partiklarnas totala massa är m {\displaystyle M}, och massans mitt rör sig med VCM, är systemets momentum:

p = m v cm . {\displaystyle P = MV_ {\text{cm}}.}

detta kallas Eulers första lag.

förhållande till kraft

om nettokraften F som appliceras på en partikel är konstant och appliceras för ett tidsintervall Δt ändras partikelns momentum med en mängd

Δ P = F Δ t ., {\displaystyle \Delta p=F\Delta t\,.}

i differentialform är detta Newtons andra lag; förändringshastigheten för en partikels momentum är lika med den momentana kraften F som verkar på den,

f = d p d t . {\displaystyle F={\frac {dp}{dt}}.}

om nettokraften som upplevs av en partikel förändras som en funktion av tid, F(t), är förändringen i momentum (eller impuls J ) mellan gånger t1 och t2

Δ P = J = trip t 1 t 2 f ( t ) d t . {\displaystyle \ Delta P=J = \int _{t_{1}}^{t_{2}}f(t)\,dt\,.,}

impuls mäts i de härledda enheterna i newton second (1 n s = 1 kg m/s) eller dyne second (1 dyne s = 1 g cm/s)

under antagandet av konstant massa m motsvarar det att skriva

f = d ( m v ) d t = m d v d t = m a, {\displaystyle F={\frac {d(MV)} {dt}}=m{\frac {dv} {dt}}=ma,}

därför är nettokraften lika med partikelns massa gånger dess acceleration.

exempel: ett modellflygplan med massa 1 kg accelererar från Vila till en hastighet av 6 m/s rakt norrut i 2 s. den nettokraft som krävs för att producera denna acceleration är 3 newtons rakt norrut., Förändringen i momentum är 6 kg m / s due north. Hastigheten för förändring av momentum är 3 (kg m/s) / s rakt norrut vilket är numeriskt ekvivalent med 3 newtons.

bevarande

i ett slutet system (en som inte utbyter någon sak med sin omgivning och inte påverkas av yttre krafter) är den totala momentum konstant. Detta faktum, känt som lagen om bevarande av momentum, är underförstått av Newtons rörelselagar. Antag till exempel att två partiklar interagerar. På grund av den tredje lagen är krafterna mellan dem lika och motsatta., Om partiklarna är numrerade 1 och 2 anger den andra lagen att F1 = dp1/dt och F2 = dp2/dt. Därför

d p 1 d t = − d p 2 d t , {\displaystyle {\frac {dp_{1}}{dt}}=-{\frac {dp_{2}}{dt}},}

med det negativa tecknet som indikerar att krafterna motsätter sig. Likvärdigt,

d d t ( p 1 + p 2 ) = 0. {\displaystyle {\frac {d}{dt}}\left(p_{1}+p_{2}\right)=0.}

om partiklarnas hastigheter är U1 och u2 före interaktionen, och efteråt är de v1 och v2, då

m 1 u 1 + m 2 u 2 = m 1 v 1 + m 2 v 2 . {\displaystyle M_{1}u_{1} + m_{2}u_{2}=M_{1}v_{1} + m_{2}v_{2}.,}

denna lag innehåller oavsett hur komplicerad kraften är mellan partiklar. På samma sätt, om det finns flera partiklar, ökar momentum som utbyts mellan varje par partiklar upp till noll, så den totala förändringen i momentum är noll. Denna bevarandelagstiftning gäller alla interaktioner, inklusive kollisioner och separationer orsakade av explosiva krafter. Det kan också generaliseras till situationer där Newtons lagar inte håller, till exempel i relativitetsteorin och i elektrodynamik.,

beroende på referensram

Momentum är en mätbar kvantitet, och mätningen beror på observatörens rörelse., Till exempel: om ett äpple sitter i en glashiss som faller, ser en utomstående observatör, tittar in i hissen, äpplet rör sig, så till den observatören har äpplet en icke-nollmoment. Till någon inuti hissen rör sig äpplet inte, så det har noll momentum. De två observatörerna har en referensram, där de observerar rörelser, och om hissen sjunker stadigt kommer de att se beteende som överensstämmer med samma fysiska lagar.

Antag att en partikel har position x i en stationär referensram., Ur en annan referensram, som rör sig med en jämn hastighet u, ändras positionen (representerad av en primad koordinat) med tiden som

x ’ = x − u t . {\displaystyle x’=x-ut\,.}

detta kallas en Galileisk omvandling. Om partikeln rör sig vid hastighet dx/dt = v i den första referensramen, rör den sig i hastighet

v ’= d x ’ d t = v − u . {\displaystyle v ’={\frac {DX’}{dt}} = v-u\,.}

eftersom u inte ändras är accelerationerna desamma:

a ’= d v ’ d t = a . {\displaystyle A’={\frac {dv’} {dt}}=a\,.,}

således bevaras momentum i båda referensramarna. Dessutom, så länge kraften har samma form, är Newtons andra lag oförändrad i båda ramarna. Krafter som newtonisk gravitation, som endast beror på det skalära avståndet mellan objekt, uppfyller detta kriterium. Denna oberoende referensram kallas newtonska relativitet eller Galileiska invarians.

en ändring av referensramen, kan ofta förenkla beräkningar av rörelse. Till exempel, i en kollision av två partiklar kan en referensram väljas, där en partikel börjar i vila., En annan, vanligen använd referensram, är mitten av massramen-en som rör sig med massans centrum. I denna ram är den totala momentum noll.

ansökan till kollisioner

i sig är lagen om bevarande av momentum inte tillräckligt för att bestämma partiklarnas rörelse efter en kollision. En annan egenskap hos rörelsen, kinetisk energi, måste vara känd. Detta är inte nödvändigtvis bevarat. Om den är bevarad kallas kollisionen en elastisk kollision; om inte, är det en oelastisk kollision.,

elastiska kollisioner

en elastisk kollision är en där ingen kinetisk energi absorberas i kollisionen. Perfekt elastiska ”kollisioner” kan uppstå när föremålen inte rör varandra, som till exempel i atomär eller kärnspridning där elektrisk avstängning håller dem ifrån varandra., En slangbella manövrering av en satellit runt en planet kan också ses som en perfekt elastisk kollision. En kollision mellan två poolbollar är ett bra exempel på en nästan helt elastisk kollision, på grund av deras höga styvhet, men när kroppar kommer i kontakt finns det alltid viss dissipation.

en huvud-på elastisk kollision mellan två kroppar kan representeras av hastigheter i en dimension, längs en linje som passerar genom kropparna., Om hastigheterna är u1 och u2 före kollisionen och v1 och v2 efter är ekvationerna som uttrycker bevarande av momentum och kinetisk energi:

m 1 u 1 + m 2 u 2 = m 1 v 1 + m 2 v 2 1 2 m 1 u 1 2 + 1 2 m 2 u 2 2 = 1 2 m 1 v 1 2 + 1 2 m 2 v 2 2. {\displaystyle {\begin{aligned}M_{1}u_{1}+m_{2}u_{2}&=M_{1}v_{1}+m_{2}v_{2}\ \ {\tfrac {1}{2}}M_{1}u_{1}^{2}+{\tfrac {1}{2}}m_{2}u_{2}^{2}&={\tfrac {1}{2}}M_{1}v_{1}^{2}+{\tfrac {1}{2}}m_{2}v_{2}^{2}\,.\ end{aligned}}}

en ändring av referensramen kan förenkla analysen av en kollision., Anta till exempel att det finns två kroppar med lika massa m, en stationär och en närmar sig den andra med en hastighet v (som i figuren). Massans centrum rör sig med hastighet v/2 och båda kropparna rör sig mot den med hastighet v / 2. På grund av symmetrin, efter kollisionen båda måste röra sig bort från centrum av massan med samma hastighet. Genom att lägga till massans mitthastighet till båda finner vi att kroppen som rörde sig nu stoppas och den andra rör sig bort i hastighet v. kropparna har bytt ut sina hastigheter., Oavsett kroppens hastigheter leder en övergång till massramens centrum oss till samma slutsats. Därför ges den slutliga hastigheten med

v 1 = u 2 v 2 = u 1 . {\displaystyle {\begin{aligned}v_{1}&=u_{2}\\v_{2}&=u_{1}\,.,\end{aligned}}}

i allmänhet, när de ursprungliga hastigheterna är kända, ges de slutliga hastigheterna av

v 1 = ( m 1 − m 2 m 1 + m 2 ) u 1 + ( 2 m 2 m 1 + m 2 ) u 2 {\displaystyle v_{1}=\left({\frac {M_{1}-m_{2}}{M_{1}+m_{2}}}}\right)u_{1}+\left({\frac {2m_{2}} {M_{1}+M_{2}}}\right)u_{2}\,} v 2 = ( m 2 − m 1 m 1 + m 2 ) u 2 + ( 2 m 1 m 1 + m 2 ) u 1 . {\displaystyle v_{2}= \ vänster ({\frac {m_{2}-M_{1}}{M_{1}+m_{2}}}\höger)u_{2}+ \ vänster ({\frac {2m_{1}}{M_{1} + m_{2}}}\höger) u_{1}\,.,}

om en kropp har mycket större massa än den andra, kommer dess hastighet att påverkas lite av en kollision medan den andra kroppen kommer att uppleva en stor förändring.

oelastiska kollisioner

i en oelastisk kollision omvandlas en del av de kolliderande kropparnas kinetiska energi till andra former av energi (såsom värme eller ljud)., Exempel inkluderar trafikkollisioner, där effekten av förlust av kinetisk energi kan ses i skador på fordonen; elektroner förlorar en del av sin energi till atomer (som i Franck–Hertz-experimentet); och partikelacceleratorer där den kinetiska energin omvandlas till massa i form av nya partiklar.

i en perfekt oelastisk kollision (som en bugg som slår en vindruta) har båda kropparna samma rörelse efteråt. En huvud-på oelastisk kollision mellan två kroppar kan representeras av hastigheter i en dimension, längs en linje som passerar genom kropparna., Om hastigheten är u1 och u2 före kollisionen då i en perfekt oelastisk kollision båda kropparna kommer att resa med hastighet v efter kollisionen. Ekvationen som uttrycker bevarande av momentum är:

m 1 u 1 + m 2 u 2 = ( m 1 + m 2 ) v . {\displaystyle {\begin{aligned}M_{1}u_{1} + m_{2}u_{2}&=\left(M_{1}+m_{2}\right)v\,.\ end{aligned}}}

om en kropp är orörlig till att börja med (t. ex., u 2 = 0 {\displaystyle u_{2}=0} ), ekvationen för bevarande av momentum är

m 1 u 1 = ( m 1 + m 2 ) V , {\displaystyle M_{1}u_{1}=\left(M_{1}+m_{2}\right)v\,,}

Så

v = m 1 m 1 + m 2 u 1 . {\displaystyle v={\frac {M_{1}}{M_{1} + m_{2}}}u_{1}\,.}

i en annan situation, om referensramen rör sig vid den slutliga hastigheten så att v = 0 {\displaystyle V = 0}, skulle föremålen vila av en perfekt oelastisk kollision och 100% av den kinetiska energin omvandlas till andra former av energi., I detta fall skulle kropparnas initiala hastigheter vara icke-noll, eller kropparna måste vara masslösa.

ett mått på kollisionens oelasticitet är restitutionskoefficienten CR, definierad som förhållandet mellan den relativa hastigheten för separation och den relativa hastigheten för inflygningen. Vid tillämpningen av denna åtgärd på en boll studsar från en fast yta, detta kan lätt mätas med hjälp av följande formel:

C R = studsa höjd fallhöjd . {\displaystyle c_ {\text{r}}={\sqrt {\frac {\text{bounce height}} {\text{drop height}}}}\,.,}

momentum-och energiekvationerna gäller också för rörelser av objekt som börjar tillsammans och sedan rör sig ifrån varandra. Till exempel är en explosion resultatet av en kedjereaktion som omvandlar potentiell energi som lagras i kemisk, mekanisk eller nukleär form till kinetisk energi, akustisk energi och elektromagnetisk strålning. Raketer använder sig också av bevarande av momentum: drivmedel är dragkraft utåt, fart och en jämn och motsatt momentum förmedlas till raketen.,

flera dimensioner

Real motion har både riktning och hastighet och måste representeras av en vektor. I ett koordinatsystem med X, y, Z-axlar har hastigheten komponenter vx i X-riktningen, vy i Y-riktningen, VZ i z-riktningen., Vektorn representeras av en boldface-symbol:

v = (v x , v y , v z ) . {\displaystyle \mathbf {v} =\left(v_{x},v_{y},v_{z}\right).}

på samma sätt är momentum en vektorkvantitet och representeras av en djärvhetssymbol:

p = ( p x , p y , p z ) . {\displaystyle \mathbf {s} =\left(p_{x},p_{y},p_{z}\right).}

ekvationerna i föregående avsnitt fungerar i vektorform om skalärerna p och v ersätts av vektorer p och v. varje vektorekvation representerar tre skalära ekvationer., Till exempel

p = m V {\displaystyle \mathbf {p} =m\mathbf {v} }

representerar tre ekvationer:

p x = m v x P y = m v y p z = m v z . {\displaystyle {\begin{aligned}p_{x}&=MV_{x}\\p_{y}&=MV_{y}\\p_{z}&=MV_{z}.\ end{aligned}}}

kinetiska energiekvationer är undantag från ovanstående ersättningsregel. Ekvationerna är fortfarande endimensionella, men varje skalär representerar vektorns storlek, till exempel

v 2 = v x 2 + v y 2 + v z 2 . {\displaystyle v^{2}=v_{x}^{2} + v_{y}^{2} + v_{z}^{2}\,.,}

varje vektorekvation representerar tre skalära ekvationer. Ofta kan koordinater väljas så att endast två komponenter behövs, som i figuren. Varje komponent kan erhållas separat och resultaten kombineras för att producera ett vektorresultat.

en enkel konstruktion som involverar massramens centrum kan användas för att visa att om en stationär elastisk sfär slås av en rörlig sfär, kommer de två att gå i rät vinkel efter kollisionen (som i figuren).,

objekt med variabel massa

begreppet momentum spelar en grundläggande roll för att förklara beteendet hos variabelmassobjekt som en raketutstötande bränsle eller en stjärna accreting gas. Vid analys av ett sådant objekt behandlar man objektets massa som en funktion som varierar med tiden: m(t). Objektets momentum vid tidpunkten t är därför p(t) = m(t)v (t)., Man kan då försöka åberopa Newtons andra rörelselag genom att säga att den externa kraften F på objektet är relaterad till dess momentum p (t) av F = dp / dt, men detta är felaktigt, liksom det relaterade uttrycket som hittas genom att tillämpa produktregeln på d (mv)/dt:

f = m ( t ) d v d t + v ( t) d m d t . {\displaystyle F=m(t){\frac {dv}{dt}}+v (t){\frac {dm}{dt}}.} (inkorrekt)

denna ekvation beskriver inte rörelsen för objekt med variabel massa korrekt., Den korrekta ekvationen är

f = m ( t ) d v d t − u d m d t , {\displaystyle F=m(t){\frac {dv}{dt}}-u{\frac {DM}{dt}},}

där u är hastigheten för den utkastade/accreted massan som ses i objektets viloram. Detta skiljer sig från v, vilket är hastigheten hos själva objektet som ses i en tröghetsram.

denna ekvation härleds genom att hålla reda på både objektets momentum och momentum för den utkastade/accreted massan (dm). När det betraktas tillsammans utgör objektet och massan (DM) ett slutet system där total momentum bevaras.,

P (t + d t) = (m – d m) (v + d v) + d m (V-u) = m v + m d v-u d m = p(t ) + m d v-U d m {\displaystyle P (t + dt) = (m-dm) (V+dv) + DM (v-U) = MV + mdv-udm=P (t) + mdv-udm}