matematiker rapporterar ny upptäckt om Dodecahedron

Även om matematiker har tillbringat över 2000 år dissekera strukturen av de fem platoniska fasta ämnen-tetrahedron, cube, octahedron, icosahedron och dodecahedron — det finns fortfarande mycket vi inte vet om dem.

nu har en trio av matematiker löst en av de mest grundläggande frågorna om dodecahedron.

Antag att du står vid ett av hörnen av ett platonskt fast ämne., Finns det någon rak väg du kan ta som så småningom skulle återvända till din utgångspunkt utan att passera genom någon av de andra hörnen? För de fyra platoniska fasta ämnen byggda av kvadrater eller liksidiga trianglar — kuben, tetrahedron, oktahedron och icosahedron-matematiker nyligen räknat ut att svaret är nej. Varje rak väg som börjar från ett hörn kommer antingen att slå ett annat hörn eller vinda runt för alltid utan att återvända hem. Men med dodecahedron, som bildas från 12 pentagoner, visste matematiker inte vad man skulle förvänta sig.,

Nu Jayadev Athreya, David Aulicino och Patrick Hooper har visat att ett oändligt antal sådana vägar i själva verket finns på dodecahedron. Deras papper, publicerat i Maj i experimentell matematik, visar att dessa vägar kan delas in i 31 naturfamiljer.

lösningen krävde moderna tekniker och datoralgoritmer., ”För tjugo år sedan var det absolut utom räckhåll; för 10 år sedan skulle det kräva en enorm ansträngning att skriva all nödvändig programvara, så först nu kom alla faktorer ihop”, skrev Anton Zorich, från Institutet för matematik i Jussieu i Paris, i ett mail.

projektet började i 2016 när Athreya, University of Washington, och Aulicino, Brooklyn College, började spela med en samling av kort lager utskärningar som viks upp i platoniska fasta ämnen., När de byggde de olika fasta ämnena slog det sig för Aulicino att en kropp av ny forskning om platt geometri kan vara precis vad de skulle behöva förstå raka vägar på dodecahedron. ”Vi satte bokstavligen ihop dessa saker”, sa Athreya. ”Så det var typ av tomgång utforskning möter en möjlighet.”

tillsammans med Hooper, från City College of New York, tänkte forskarna ut hur man klassificerar alla raka vägar från ett hörn tillbaka till sig själv som undviker andra hörn.

deras analys är ”en elegant lösning”, säger Howard Masur från University of Chicago., ”Det är en av dessa saker där jag kan säga, utan tvekan,’ godhet, Åh, jag önskar att jag hade gjort det!'”

dolda symmetrier

även om matematiker har spekulerat om raka vägar på dodecahedron i mer än ett sekel, det har varit ett uppsving av intresse i ämnet under de senaste åren efter vinster i förståelse ” översättningsytor.,”Det här är ytor som bildas genom att limma ihop parallella sidor av en polygon, och de har visat sig vara användbara för att studera ett brett spektrum av ämnen som involverar raka vägar på former med hörn, från biljardbordsbanor till frågan om när ett enda ljus kan belysa ett helt speglat rum.

i alla dessa problem är grundtanken att rulla upp din form på ett sätt som gör de vägar du studerar enklare. Så för att förstå raka vägar på en platonisk solid, kan du börja med att skära tillräckligt öppna kanter för att göra den fasta lögnen platt och bilda vad matematiker kallar ett nät., Ett nät för kuben är till exempel en T-form av sex rutor.

Föreställ dig att vi har platta ut dodecahedron, och nu går vi längs denna platta form i någon vald riktning. Så småningom kommer vi att slå kanten av nätet, vid vilken tidpunkt vår väg kommer att hoppa till en annan pentagon (vilken som limmade till vår nuvarande pentagon innan vi skär öppna dodecahedron). När banan humle, det roterar också med några multipel av 36 grader.,

för att undvika allt detta hoppande och roterande, när vi träffar en kant av nätet kunde vi istället limma på en ny, roterad kopia av nätet och fortsätta rakt in i den. Vi har lagt till lite redundans: nu har vi två olika pentagoner som representerar varje pentagon på den ursprungliga dodecahedron. Så vi har gjort vår värld mer komplicerad – men vår väg har blivit enklare. Vi kan fortsätta att lägga till ett nytt nät varje gång vi behöver expandera bortom vår världs kant.,

När vår väg har rest genom 10 nät har vi roterat vårt ursprungliga nät genom varje möjlig multipel av 36 grader, och nästa nät vi lägger till kommer att ha samma orientering som den vi började med. Det betyder att detta 11: e nät är relaterat till det ursprungliga med ett enkelt Skift — vilka matematiker kallar en översättning. I stället för limning på ett 11: e nät kan vi helt enkelt limma kanten på det 10: e nätet till motsvarande parallella kant i det ursprungliga nätet., Vår form kommer inte längre att ligga platt på bordet, men matematiker tänker på det som fortfarande ”minns” den platta geometrin från sin tidigare inkarnation-så, till exempel, vägar anses raka om de var raka i den oglued formen. När vi har gjort alla sådana möjliga limningar av motsvarande parallella kanter slutar vi med vad som kallas en översättningsyta.

den resulterande ytan är en mycket redundant representation av dodekahedron, med 10 kopior av varje pentagon. Och det är massivt mer komplicerat: det klistrar upp i en form som en munk med 81 hål., Men denna komplicerade form gjorde det möjligt för de tre forskarna att få tillgång till den rika teorin om översättningsytor.

för att ta itu med denna jätteyta rullade matematikerna upp sina ärmar — figurativt och bokstavligen. Efter att ha arbetat med problemet i några månader insåg de att den 81-hålade donutytan bildar en överflödig representation inte bara av dodekahedron utan också av en av de mest studerade översättningsytorna., Den kallas dubbel pentagon, den är gjord genom att fästa två pentagoner längs en enda kant och sedan limma ihop parallella sidor för att skapa en tvåhylsad munk med en rik samling symmetrier.

denna form råkade också tatueras på Athreyas arm. ”Den dubbla pentagon var något som jag redan visste och älskade”, säger Athreya, som fick tatueringen ett år innan han och Aulicino började tänka på dodecahedron.

eftersom den dubbla pentagonen och dodekahedronen är geometriska kusiner, kan den förra höga symmetrin belysa strukturen hos den senare., Det är en” fantastisk dold symmetri”, säger Alex Eskin från University of Chicago (som var Athreyas doktorsrådgivare för ungefär 15 år sedan). ”Det faktum att dodecahedron har denna dolda symmetri grupp är, tror jag, ganska anmärkningsvärt.”