Laplacian matrix (Svenska)

Laplacian matrix kan tolkas som en matrisrepresentation av ett visst fall av den diskreta Laplace-operatören. En sådan tolkning gör det möjligt för en, t.ex., att generalisera Laplacian matrisen till fallet med grafer med ett oändligt antal hörn och kanter, vilket leder till en Laplacian matris av oändlig storlek.

d ϕ jag d t = − k ∑ j A i j ( ϕ jag − j ϕ ) = − k ( ϕ jag ∑ j A i j − ∑ j A i j j ϕ ) = − k ( ϕ jag ° ⁡ ( v ) − ∑ j A i j j ϕ ) = − k ∑ j ( δ j ° ⁡ ( v ) − r j ) j ϕ = − k ∑ j ( ℓ jag j ) j ϕ ., {\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {d\phi _{i}}{dt}}&=-k\am _{j}a_{ij}\left(\phi _{i}-\phi _{j}\right)\\&=-k\left(\phi _{I}\am _{j}a_{ij}-\am _{J}a_{ij}\Phi _{J}\right)\\&=-k\left(\phi _{i}\ \deg(V_{i})-\I _{J}a_{ij}\Phi _{J}\right)\\&=-k\Am _{J}\Left(\delta _{IJ}\ \deg(v_{i})-a_{ij}\right)\Phi _{j}\\&=-k\Am _{J}\left(\ell _{ij}\right)\phi _{J}.,\end{aligned}}

i matrix-vector notation,

d d t = − k ( D − A), {\displaystyle {\begin{aligned} {\frac {d\phi} {dt}}&= − K(D-A) \phi\&=-kL\phi ,\end{aligned}}}

vilket ger

d d t + k L=0. {\displaystyle {\frac {d\phi }{dt}}+kL\phi =0.}

Observera att denna ekvation tar samma form som värmeekvationen, där matrisen −L ersätter Laplacian operator 2 {\textstyle \nabla ^{2}} ; därmed ”grafen Laplacian”.,

0 = d (i C i ( T ) V I ) d t + k l (i C i ( t ) v i) = I = i ( t ) d t + k λ i C i ( t ) = 0 , {\displaystyle {\begin{aligned}0=&{\frac {d\left(\sum _{i}C_{i}(t)\mathbf {v} _{i}\{dt}}+kl\Left(\sum _{i} C_{i} (T)\mathbf {v} _{i}\right)\\=&\sum _{I}\left\\=&\sum _{I}\left\\\rightarrow &{\frac {dc_{i} (t)} {dt}}+k\Lambda _{i} C_{i} (t)=0,\\\end{aligned}}}

vars lösning är

C i ( T) = C i ( 0) e − k λ i t . {\displaystyle c_{i}(t)=c_{i}(0)e^{-k\lambda _{i}t}.,} c i ( 0 ) = ⟨ ϕ ( 0 ) , v jag undertill {\displaystyle c_{i}(0)=\left\langle \phi (0),\mathbf {v} _{jag}\right\rangle } .

När det gäller oriktade grafer fungerar detta eftersom L {\textstyle l} är symmetrisk och med spektralteoremen är dess egenvektorer alla ortogonala. Så projektionen på egenvektorerna av l {\textstyle l} är helt enkelt en ortogonal koordinattransformation av det ursprungliga tillståndet till en uppsättning koordinater som sönderfaller exponentiellt och oberoende av varandra.,

Equilibrium behaviorEdit

lim t → e − k λ i t = { 0 if λ i > 0 1 Om λ i = 0 } {\displaystyle \lim _{t\to \infty }e^{-k\lambda _{i}t}=\left\{{\begin{array}{rlr}0&{\text{if}}&\Lambda _{i}>0\\1&{\text{if}}&\Lambda _{i}=0\end{array}}\right\}}

med andra ord är systemets jämviktstillstånd bestäms helt av kärnan i l {\textstyle l} .,

konsekvensen av detta är att för ett givet initialtillstånd c ( 0 ) {\textstyle c(0)} för en graf med n {\textstyle n} vertices

lim t → (t) = c ( 0 ) , V 1 v 1 {\displaystyle \lim _{t\to \infty }\Phi (t)=\left\langle c(0),\mathbf {v^{1}} \right\rangle \mathbf {v^{1}} \right \rangle\mathbf {v^{1}}}

där

v 1 = 1 n {\displaystyle\mathbf {v^{1}} ={\frac {1} {\sqrt{n}}} lim t → j ( t ) = 1 n i = 1 n c i ( 0) {\displaystyle\lim _{t\till\infty} \ Phi _{j} (t)={\frac{1} {n}} \ Sum _{i=1} ^ {n} c_ {i} (0)}.,

med andra ord, vid steady state, konvergerar värdet av {\textstyle \phi } till samma värde vid var och en av grafens hörn, vilket är genomsnittet av de ursprungliga värdena vid alla hörn. Eftersom detta är lösningen på värmediffusionsekvationen, är detta perfekt meningsfullt intuitivt. Vi förväntar oss att närliggande element i grafen kommer att utbyta energi tills den energin sprids jämnt över alla element som är anslutna till varandra.,

exempel på operatören på en gridEdit

det här avsnittet visar ett exempel på en funktion som {\textstyle \phi } sprider sig över tiden genom ett diagram. Grafen i detta exempel är konstruerad på ett 2D diskret rutnät, med punkter på nätet anslutna till sina åtta grannar. Tre inledande punkter anges för att ha ett positivt värde, medan resten av värdena i rutnätet är noll. Med tiden verkar exponentiellt förfall för att fördela värdena vid dessa punkter jämnt över hela nätet.

den fullständiga Matlab-källkoden som användes för att generera denna animering tillhandahålls nedan., Det visar processen att specificera initiala förhållanden, projicera dessa initiala förhållanden på egenvärdena i Laplacian-matrisen och simulera exponentiellt förfall av dessa projicerade initiala förhållanden.