Kvadrerade avvikelserna från medelvärdet

I fall där uppgifter är tillgängliga för k olika behandlingsgrupper med storlek ni där jag varierar från 1 till k, då det antas att den förväntade medelvärdet för varje grupp

E ⁡ ( μ i ) = μ + T {\displaystyle \operatorname {E} (\mu _{i})=\mu +T_{jag}}

och variansen för varje behandling för koncernen är oförändrade jämfört med befolkningen varians σ 2 {\displaystyle \sigma ^{2}} .,

under nollhypotesen att behandlingarna inte har någon effekt, kommer var och en av T i {\displaystyle t_{i}} att vara noll.,i ) {\displaystyle T=\summan _{i=1}^{k}\left(\left(\summan x\right)^{2}/n_{jag}\höger)} E ⁡ ( T ) = k σ 2 + ∑ i = 1 k n i ( μ + T ) 2 {\displaystyle \operatorname {E} (T)=k\sigma ^{2}+\summan _{i=1}^{k}n_{i}(\mu +T_{i})^{2}} E ⁡ ( T ) = k σ 2 + n μ 2 + 2 m ∑ i = 1 k ( n i T i ) + ∑ i = 1 k n i ( T i ) 2 {\displaystyle \operatorname {E} (T)=k\sigma ^{2}+n\mu ^{2}+2\mu \summan _{i=1}^{k}(n_{i}T_{i})+\summan _{i=1}^{k}n_{i}(T_{i})^{2}}

Under nollhypotesen att behandlingar orsakar inga skillnader och alla jag T {\displaystyle T_{jag}} är noll, förväntan förenklar att

E ⁡ ( T ) = k σ 2 + n μ 2 ., {\displaystyle \operatorname {E} (T)=k\sigma ^{2}+n\mu ^{2}.,C)=\sigma ^{2}+n\mu ^{2}}

summor squared deviationsEdit

E ( i − c ) = ( n − 1 ) σ 2 {\displaystyle \operatorname {e} (i-c)=(n-1)\sigma ^{2}} totala kvadrerade avvikelser aka totala summan av kvadrater e aka ( T − C ) = ( k − 1 ) σ 2 {\displaystyle \operatorname {E} (T-C)=(K-1)\sigma ^{2}} behandling squared avvikelser aka förklarade summan av kvadrater e ( i − t ) = ( n − k ) σ 2 {\displaystyle \operatorname {e} (i-t)=(n-k)\Sigma ^{2}} återstående kvadrerade avvikelser aka återstående summan av kvadrater

konstanterna (n − 1), (K − 1) och (n − k) kallas normalt antalet frihetsgrader.,

ExampleEdit

i ett mycket enkelt exempel uppstår 5 observationer från två behandlingar. Den första behandlingen ger tre värden 1, 2 och 3, och den andra behandlingen ger två värden 4 och 6.

I = 1 2 1 + 2 2 1 + 3 2 1 + 4 2 1 + 6 2 1 = 66 {\displaystyle i = {\frac {1^{2}}{1}}+{\frac {2^{2}}{1}}+{\frac {3^{2}}{1}}+{\frac {4^{2}}{1}}+{\frac {6^{2}}{1}}=66} T = ( 1 + 2 + 3 ) 2 3 + ( 4 + 6 ) 2 2 = 12 + 50 = 62 {\displaystyle T={\frac {(1+2+3)^{2}}{3}}+{\frac {(4+6)^{2}}{2}}=12+50=62} C = ( 1 + 2 + 3 + 4 + 6 ) 2 5 = 256 / 5 = 51.2 {\displaystyle c={\frac {(1+2+3+4+6)^{2}}{5}}=256/5=51.,2}

ger

totala kvadrerade avvikelser = 66-51,2 = 14,8 med 4 frihetsgrader. Behandling kvadrerade avvikelser = 62-51,2 = 10,8 med 1 grad av frihet. Återstående kvadrerade avvikelser = 66-62 = 4 med 3 frihetsgrader.

tvåvägsanalys av varianceEdit

följande hypotetiska exempel ger avkastningen på 15 växter som är föremål för två olika miljövariationer och tre olika gödselmedel.,

fem summor kvadrater beräknas:

slutligen kan summan av kvadrerade avvikelser som krävs för analys av variansen beräknas.beräknat.,