användningen av exponentiell fönsterfunktion tillskrivs först Poisson som en förlängning av en numerisk analysteknik från 1700-talet, och senare antogs av signalbehandlingsgemenskapen på 1940-talet. här är exponentiell utjämning tillämpningen av exponentiell eller Poisson, fönsterfunktion. Exponentiell utjämning föreslogs först i den statistiska litteraturen utan hänvisning till tidigare arbete av Robert Goodell Brown 1956, och utvidgades sedan av Charles C. Holt 1957., Formuleringen nedan, som är den som vanligen används, tillskrivs brun och är känd som”Browns enkla exponentiell utjämning”. Alla metoder för Holt, vintrar och brunt kan ses som en enkel tillämpning av rekursiv filtrering, som först hittades på 1940-talet för att konvertera finita impulse response (FIR) filter till oändliga impulse response filter.
den enklaste formen av exponentiell utjämning ges med formeln:
S t = α x t + ( 1 − α ) S t − 1 = S t − 1 + α ( x T − S t − 1 ) . {\displaystyle s_{t}= \ alpha x_{t}+(1 – \ alpha) s_{t-1}=s_{t-1}+ \ alpha(x_{t} – s_{t-1}).,}
där α {\displaystyle \ alpha } är utjämningsfaktorn och 0 ≤ α ≤ 1 {\displaystyle 0\leq \ alpha \ leq 1} . Med andra ord är den jämnade statistiken S t {\displaystyle s_{t}} ett enkelt vägt genomsnitt av den aktuella observationen x t {\displaystyle x_{t}} och den tidigare jämnade statistiken S t-1 {\displaystyle s_{t-1}}. Enkel exponentiell utjämning appliceras enkelt, och det ger en jämn statistik så snart två observationer är tillgängliga.,Termen utjämningsfaktor som tillämpas på α {\displaystyle \ alpha } här är något av en missvisande, eftersom större värden på α {\displaystyle \ alpha } faktiskt minskar utjämningsnivån, och i begränsningsfallet med α {\displaystyle \alpha } = 1 är utgångsserien bara den aktuella observationen. Värden av α {\displaystyle \ alpha } nära en har mindre utjämningseffekt och ger större vikt till de senaste ändringarna i data, medan värdena för α {\displaystyle \alpha } närmare noll har en större utjämningseffekt och är mindre mottagliga för de senaste ändringarna.,
Till skillnad från vissa andra utjämningsmetoder, till exempel det enkla glidande medelvärdet, kräver denna teknik inte något minsta antal observationer innan det börjar producera resultat. I praktiken kommer dock ett ”bra Genomsnitt” Inte att uppnås förrän flera prover har genomsnittats tillsammans. till exempel tar en konstant signal cirka 3 / α {\displaystyle 3/\alpha } steg för att nå 95% av det faktiska värdet., För att noggrant rekonstruera den ursprungliga signalen utan informationsförlust måste alla steg i exponentiellt glidande medelvärde också vara tillgängliga, eftersom äldre prover sönderfaller i vikt exponentiellt. Detta är i motsats till ett enkelt glidande medelvärde, där vissa prover kan hoppas över utan så mycket förlust av information på grund av den konstanta viktningen av prover inom genomsnittet. Om ett känt antal prover kommer att missas, kan man justera ett vägt genomsnitt för detta också, genom att ge lika vikt till det nya provet och alla som ska hoppas över.,
denna enkla form av exponentiell utjämning är också känd som ett exponentiellt vägt glidande medelvärde (EWMA). Tekniskt kan det också klassificeras som en autoregressiv integrerad glidande medelvärde (ARIMA) (0,1,1) modell utan konstant term.
tidskonstantedit
α = 1 − E − Δ t/τ {\displaystyle \alpha =1-e^{-\Delta t / \tau}}
där Δ t {\displaystyle \Delta T} är samplingstiden för den diskreta tidsimplementationen., Om provtagningstiden är snabb jämfört med tidskonstanten (Δ t τ {\displaystyle \Delta t\ll \tau } ) sedan
α Δ t τ {\displaystyle \alpha \approx {\frac {\Delta t}{\tau }}}
välja den ursprungliga jämnade valueEdit
Observera att i definitionen ovan initieras s 0 {\displaystyle s_{0}} till x 0 {\displaystyle x_{0}}. Eftersom exponentiell utjämning kräver att vi i varje steg har den tidigare prognosen är det inte uppenbart hur man får metoden igång., Vi kan anta att den ursprungliga prognosen är lika med det ursprungliga värdet av efterfrågan, men detta tillvägagångssätt har en allvarlig nackdel. Exponentiell utjämning sätter stor vikt på tidigare observationer, så det ursprungliga värdet av efterfrågan kommer att ha en orimligt stor effekt på tidiga prognoser. Detta problem kan övervinnas genom att processen kan utvecklas under ett rimligt antal perioder (10 eller mer) och använda genomsnittet av efterfrågan under dessa perioder som den ursprungliga prognosen., Det finns många andra sätt att ställa in detta ursprungliga värde , men det är viktigt att notera att ju mindre värdet av α {\displaystyle \alpha}, desto känsligare blir din prognos om valet av detta ursprungliga jämnare värde s 0 {\displaystyle s_{0}} .
OptimizationEdit
För varje exponentiell utjämningsmetod måste vi också välja värdet för utjämningsparametrarna. För enkel exponentiell utjämning finns det bara en utjämningsparameter (α), men för de metoder som följer finns det vanligtvis mer än en utjämningsparameter.,
det finns fall där utjämningsparametrarna kan väljas på ett subjektivt sätt – prognosmakaren anger värdet på utjämningsparametrarna baserat på tidigare erfarenheter. Ett mer robust och objektivt sätt att erhålla värden för de okända parametrar som ingår i någon exponentiell utjämningsmetod är dock att uppskatta dem från de observerade uppgifterna.,
sse = t = 1 t (y t − y ^ t t-1) 2 = 1 T E T 2 {\displaystyle {\text{sse}} = \ sum _{t = 1}^{t} (y_{t} – {\hat {y}} _ {t \ mid t-1})^{2}=\sum _{t=1}^{t}e_{T}^{2}}
Till skillnad från regressionsfallet (där vi har formler för att direkt beräkna regressionskoefficienterna som minimerar SSE) detta innebär ett icke-linjärt minimeringsproblem och vi måste använda ett optimeringsverktyg för att utföra detta.
”exponentiell” namngedit
namnet ”exponentiell utjämning” tillskrivs användningen av exponentiell fönsterfunktion under konvolutionen., Det tillskrivs inte längre Holt, Winters& Brown.
genom direkt substitution av den definierande ekvationen för enkel exponentiell utjämning tillbaka in i sig finner vi att
S t = α x t + ( 1 − α ) S t − 1 = α x t + α ( 1 − α ) x t − 1 + ( 1 − α ) 2 s T − 2 = α + ( 1 − α ) t x 0 . {\displaystyle {\begin{aligned}s_{t}&=\alpha x_{t}+(1-\alpha )s_{t-1}\\&=\alpha x_{t}+\alpha (1-\alpha )x_{t-1}+(1-\alpha )^{2}s_{T-2}\\&=\alpha \left+(1-\Alpha )^{t}x_{0}.,othed statistic S t {\displaystyle s_{t}} blir det vägda genomsnittet av ett större och större antal av de tidigare observationerna S t − 1 , … , S t − {\displaystyle s_{t-1},\ldots ,s_{t-}} , och vikterna som tilldelats tidigare observationer är proportionella mot villkoren för den geometriska progressionen 1 , ( 1 − α ) , ( 1 − α ) 2 , … , ( 1 − α ) n , … {\displaystyle 1,(1-\alpha ),(1-\alpha )^{2},\ldots ,(1-\Alpha )^{n},\ldots }
en geometrisk progression är den diskreta versionen av en exponentiell funktion, så det är här namnet på denna utjämningsmetod härstammar enligt statistik lore.,
jämförelse med glidande medelvärde
exponentiell utjämning och glidande medelvärde har liknande defekter att införa en fördröjning i förhållande till indata. Även om detta kan korrigeras genom att flytta resultatet med halva fönsterlängden för en symmetrisk kärna, såsom ett glidande medelvärde eller Gaussisk, är det oklart hur lämpligt detta skulle vara för exponentiell utjämning. De har också båda ungefär samma fördelning av prognosfel när α = 2 / (k + 1)., De skiljer sig åt genom att exponentiell utjämning tar hänsyn till alla tidigare data, medan glidande medelvärde endast tar hänsyn till k tidigare datapunkter. Beräkningsmässigt skiljer sig de också åt genom att glidande medelvärde kräver att de tidigare k-datapunkterna, eller datapunkten vid lag K + 1 plus det senaste prognosvärdet, ska hållas, medan exponentiell utjämning endast behöver det senaste prognosvärdet som ska hållas.,
i signalbehandlingslitteraturen är användningen av icke-kausala (symmetriska) filter vanligt, och exponentiell fönsterfunktion används i stor utsträckning på detta sätt, men en annan terminologi används: exponentiell utjämning motsvarar ett första ordningens infinite-impulse-filter (IIR) och glidande medelvärde motsvarar ett ändligt impulsresponsfilter med lika viktningsfaktorer.