exponentiering är en matematisk operation som involverar två tal, basen $x$ och exponenten $a$. När $A$ är ett positivt heltal motsvarar exponentiering upprepad multiplikation av basen.
per definition är varje nummer som har 0 som exponent lika med 1. Det betyder att oavsett hur stor basen är, om deras exponent är lika med 0, är det numret alltid lika med 1.,
varje nummer som inte har en exponent kopplad till den har faktiskt numret 1 som exponent. Numret 1 är standardexponenten för varje nummer, så det är inte nödvändigt att skriva ner det, men i vissa uppgifter kan det vara bra att göra det.
en multiplicerad med en är alltid en, oavsett hur många gånger du upprepar multiplikationen, så 1 till vilken effekt som helst är alltid lika med 1.,
negativa exponenter
om exponenten är ett positivt heltal motsvarar exponentiationen upprepad multiplikation av basen, så vad betyder det om exponenten är ett negativt heltal? Basens ömsesidiga värde är än vad som används för att göra den negativa exponenten till en positiv.
$a^{-n}=(a^{-1})^n=\left(\frac{1}{a}\right)^n=\frac{1}{a^n}$
detsamma går åt andra hållet. Om ett okänt är i nämnaren kan nämnaren bli en täljare genom att ändra exponentens tecken., I vissa fall kommer detta att visa sig vara en mycket användbar funktion, särskilt när man arbetar med inversa tal och funktioner.
exempel 1: Skriv dessa uttryck med endast positiva exponenter:
a) $a^{-7}$
b) $\frac{-6x^{-1}}{y^5}$
c) $\frac{-12x^{-6}y^{-9}}{z^3}$
lösning:
a) $a^{-7}=\frac{1}{A^7}$
b) $\frac{-6x^{-1}}{y^5}=\frac{-6}{x^1 \cdot y^5}=\frac{-6}{XY^5}$
c) $\frac{-12x^{-6}y^{-9}}{z^3} = \frac{-12}{x^6 \cdot y^9 \cdot z^3}$
addition
hur lägger man till eller subtraherar exponenter?,
de mest intressanta uppgifterna innebär unkowns, men samma regler gäller för dem.
låt oss titta på en enkel ekvation:
eftersom $\ x = x^1$ och $\ 1 = x^0$ kan vi skriva vår ekvation så här:
hur skulle du normalt lösa det? Variablerna med $x$ läggs till separat och separat variabler utan $x$.,
The same will apply to larger exponents:
$\ x^{12} + 3 \cdot {x^{12}} + 2 \cdot {x^2} = 4 \cdot {x^{12}} + 2 \cdot {x^2}$
Example 2: Add exponents
subtraktion
samma regler som gäller för att lägga till exponenter gäller även för subtraktion.
Du kan bara subtrahera tal som har okända med samma exponent.
exempel 3: subtrahera exponenter:
$ 4x^{12} – 0.25 x^4 + 2x^2-3x^2-3x^{12} = ?$
lösning:
$(4x^{12} – 3x^{12}) – 0.25\cdot {x^4} + (2x^2 – 3x^2) = x^{12} – 0.25\cdot {x^4} – x^2 $
multiplikation
det finns två grundläggande regler för multiplikation av exponenter.,
den första regeln – om baserna är desamma läggs deras exponenter ihop.
till exempel: $ \ 2^{-2} \cdot {2^{-3}} = 2^{- 2 – 3} = 2^{-5} = \vänster (\frac{1}{2} \ höger)^5$.
den andra regeln – om baserna är olika, men exponenterna är desamma, multipliceras baserna och exponenterna förblir desamma.
till exempel: $ \ 2^2 \cdot {3^2} = (2 \cdot {3})^2 = 6^2$.
exempel 4:
$ 2^2 \cdot {4^2} = ?,$
lösning:
för att multiplicera två exponenter måste deras bas eller deras exponenter vara desamma. I det här exemplet är inte heller fallet. Så det första steget är att, när det är möjligt, vända varje nummer till den lägsta basen. I det här exemplet kan numret $ 4$ skrivas som $ 2^2$.
$ 2^2 \cdot {(2^2)^2} = ?$
kvadraten representerar numret multiplicerat med sig själv så $\ (2^2)^2$ kan skrivas som $ \ 2^2 \cdot {2^2} = 2^{2 + 2} = 2^4$.,
From Example 4, this generalisation can be made:
Final solution: $\ 2^2 \cdot {4^2}= 2^2 \cdot {(2^2)^2} = 2^2 \cdot {2^4} = 2^{2+4} = 2^6$.
Example 5:
$ \left(\frac{2}{3}\right)^2 \cdot {0.2^2} = ?,$
lösning:
$$=\vänster (\frac{2}{3}\höger)^2 \cdot \vänster (\frac{2}{10}\höger)^2$$
$$=\vänster (\frac{2}{3}\höger)^2 \cdot\vänster (\frac{1}{5}\höger)^2$$
$$= \vänster(\frac{2}{3} \cdot \frac{1}{5}\right)^2 $$
$$= \left(\frac{2}{15}\right)^2$$
exempel 6:
$\ (x^2 y^3)(x^5 y^4 )$
lösning:
multiplikation är associativ så att parentesordningen inte gör någon skillnad. Faktorerna med samma baser multipliceras som förklarats tidigare, så deras exponenter läggs till.,
$ (x^2 \cdot y^3) (x^5 \cdot y^4) = x^2 \cdot x^5 \cdot y^3 \cdot y^4 = x^7 \cdot y^7 = (xy)^7$
Division
När det gäller multiplikation finns det två grundläggande regler för att dela exponenter.
den första regeln-när baserna är desamma subtraheras deras exponenter.
till exempel: $\ 2^2 : 2 = \frac{2^2}{2} = 2^{2 – 1} = 2^1 = 2$, som lätt kan kontrolleras sedan $ 4: 2 = 2$.
till exempel: $\ 2^{-2} : 2^{-1} =\frac{2^{-2}}{2^{-1} }= 2^{-2-(-1)} = 2^{-1} = \frac{1}{2}$.,
den andra regeln – om baserna är olika, men exponenterna är desamma, är baserna uppdelade och exponenterna förblir desamma.
till exempel: $\ 2^2 : 3^2 = \frac{2^2}{3^2 } = (2 : 3)^2 = \vänster (\frac{2}{3} \ höger)^2$.
exempel 7:
$ \ frac{4^2}{4^3} + \frac{1}{2} = ?$
lösning:
$ \ frac{4^2}{4^3} + \frac{1}{2} = 4^{2 – 3} + \frac{1}{2} = 4^{-1} + \frac{1}{2} = \ frac{1}{4} + \ frac{1}{2} = \ frac{1 + 2}{4} = \frac{3}{4}$
exempel 8:
$ \ frac{4^5}{4^{-2}} – 0.2 \cdot {4} + \ frac{1}{2} \cdot {2^8} = ?,$
lösning:
$ \ frac{4^5}{4^{-2}} – 0.2 \cdot 4 + \frac{1}{2} \cdot 2^8 = 4^{5 – (-2)} – \frac{2}{10} \ cdot 4 + \ frac{2^8}{2^1} = 4^{5 + 2} – \frac{1}{5} \ cdot 4 + 2^{8 – 1} = 4^7 – \frac{4}{5} + 2^7$
exempel 9:
$ \ frac{18x^5y^6a^2}{6xy^2a^5} = ?$
lösning:
$ \ frac{18x^5y^6a^2}{6xy^2a^5} = 3x^{5-1}y^{6-2}a^{2-5} = 3x^4y^4a^{-3} = \ frac{3x^4y^4}{a^3}$
om, som i det här exemplet, en uppgift endast innebär uppdelning och multiplikation, kan fraktionen delas in i två mindre fraktioner. – herr talman!,
$\frac{x^2y^3 + x^5y}{xy} = \frac{x^2y^3}{xy} + \frac{x^5y}{xy} = xy^2 + x^4$
Exponents worksheets
Properties of exponents
Numeric expressions (312.6 KiB, 1,893 hits)
Algebraic expressions (450.1 KiB, 1,880 hits)
Basics of exponents
Scientific notation (166.4 KiB, 1,601 hits)
Scientific notation – Write in standard notation (187.,
operationer med exponenter
multiplikation (195,3 KB, 1,883 träffar)
Division (197,0 KB, 1,589 träffar)
upphöjd till en effekt (174,1 KB, 179,5 KB, 178,5 KB, 1.819 träffar)