Se lista över andra stunder av området för andra former.,\mathrm {d} a=\int _{- {\frac {b}{2}}}^{\frac {b}{2}} \int _{- {\frac {h}{2}}}^{\frac {h}{2}}y^{2}\,\mathrm {d} y\,\mathrm {d} x=\int _{- {\frac {b}{2}}}^{\frac {b}{2}} {\frac {1}{3}} {\frac {h^{3}}{4}}\,\mathrm {d} x={\frac {bh^{3}}{12}}\\i_{y}&=\iint \limits _{r}x^{2}\,\mathrm {d} a=\int _{-{\frac {b}{2}}}^{\frac {b}{2}}\int _{-{\frac {h}{2}}}^{\frac {h}{2}}x^{2}\,\mathrm {d} y\,\mathrm {d} x=\int _{-{\frac {b}{2}}}^{\frac {b}{2}}HX^{2}\,\mathrm {d} x={\frac {b^{3}h}{12}}\end{aligned}}}
med den vinkelräta axeln teorem får vi värdet av j z {\displaystyle j_{z}} .,
J z = I X + i y = b h 3 12 + h b 3 12 = b h 12 (b 2 + h 2) {\displaystyle J_{z}=i_{x} + i_{y}={\frac {bh^{3}}{12}}+{\frac {hb^{3}}{12}}={\frac {bh}{12}}\left(b^{2}+h^{2}\right)}
Annulus centrerad vid originEdit
Annulus med inre radie R1 och yttre radie r2
överväga en annulus vars centrum är vid ursprunget, utanför radien är r 2 {\displaystyle r_{2}} , och inuti radien är R 1 {\displaystyle r_{1}} . På grund av annulus symmetri ligger centroiden också vid ursprunget., Vi kan bestämma det polära ögonblicket av tröghet, J z {\displaystyle J_{z}}, om Z {\displaystyle z} – axeln med metoden för kompositformer. Detta polära tröghetsmoment motsvarar det polära tröghetsmomentet i en cirkel med radie r 2 {\displaystyle r_{2}} minus det polära tröghetsmomentet i en cirkel med radie r 1 {\displaystyle r_{1}}, båda centrerade vid ursprunget. Låt oss först härleda det polära tröghetsmomentet i en cirkel med radie r {\displaystyle r} med avseende på ursprunget., I det här fallet är det lättare att direkt beräkna J z {\displaystyle J_{z}} eftersom vi redan har r 2 {\displaystyle r^{2}} , som har både en X {\displaystyle x} och y {\displaystyle y} komponent. I stället för att erhålla det andra ögonblicket av området från kartesiska koordinater som gjort i föregående avsnitt ska vi beräkna i X {\displaystyle i_{x}} och J z {\displaystyle J_{z}} direkt med polära koordinater.,b3be53f037″>
=\iint \limits _{r}r^{2}\,\mathrm {d} a=\int _{0}^{2\pi }\int _{0}^{r}r^{2}\left(r\,\mathrm {d} r\,\mathrm {d} \theta \right)=\int _{0}^{2\pi }\int _{0}^{r}r^{3}\,\mathrm {d} r\,\mathrm {d} \theta \\&=\int _{0}^{2\pi }{\frac {r^{4}}{4}}\,\mathrm {d} \ theta = {\frac {\pi }{2}}r^{4}\end{aligned}}}
nu är det polära tröghetsmomentet om Z {\displaystyle z} – axeln för en annulus helt enkelt, som sagt ovan, skillnaden i de andra ögonblicken i en cirkel med radie r 2 {\displaystyle r_{2}} och en cirkel med radie r 1 {\displaystyle r_{1}} .,
J z = J z , r 2-J z, r 1 = π 2 r 2 4-π 2 r 1 4 = π 2 (r 2 4 − r 1 4) {\displaystyle J_{z}=j_{z, r_{2}} – j_{z, r_{1}} = {\frac {\pi }{2}}r_{2}^{4}-{\frac {\pi} {2}}r_{1}^{4}={\frac {\pi }{2}} \ left (r_{2}^{4}-r_{1}^{4}\right)}
Alternativt kan vi ändra gränserna för d r {\displaystyle \mathrm {d} r} integral första gången för att återspegla det faktum att det finns ett hål. Detta skulle göras så här.,r 2 r 2 ( r d r d θ) = 2 π r 1 r 2 r 3 D r D θ = 2 π d θ = π 2 ( r 2 4 − r 1 4 ) {\displaystyle {\begin{aligned}J_{z}&=\iint \limits _{r}r^{2}\,\mathrm {d} a=\int _{0}^{2\pi }\int _{r_{1}}^{r_{2}}r^{2}\Left(r\,\mathrm {d} r\,\mathrm {d} \theta \right)=\int _{0}^{2\pi }\Int _{r_{1}}^{r_{2}}r^{3}\,\mathrm {d} r\,\mathrm {d} \theta \\&=\int _{0}^{2\pi }\Left\,\mathrm {d} \Theta ={\frac {\pi }{2}}\Left(r_{2}^{4}-r_{1}^{4}\right)\end{aligned}}}
någon polygonedit
en enkel polygon., Här är N=6 {\displaystyle N = 6} , notice point ”7” identisk med punkt 1.
det andra ögonblicket av området om ursprunget för en enkel polygon på xy-planet kan beräknas i allmänhet genom att summera bidrag från varje segment av polygonen efter att ha delat området i en uppsättning trianglar. Denna formel är relaterad till shoelace-formeln och kan betraktas som ett speciellt fall av Greens teorem.
en polygon antas ha n {\displaystyle n} hörn, numrerade moturs., Om polygon vertices numreras medurs kommer returnerade värden att vara negativa, men absoluta värden kommer att vara korrekta.,y i + 1 − x i + 1 y i ) ( x i Y i + 1 + 2 x I Y i + 2 x i + 1 Y i + 1 + x i + 1 Y i ) {\displaystyle {\begin{aligned}i_{y}&={\frac {1}{12}}\sum _{i=1}^{n}\left(x_{i}y_{i+1}-x_{i+1}y_{i}\right)\left(x_{i}^{2}+x_{i}x_{i+1}+x_{i+1}^{2}\right)\\I_{x}&={\frac {1}{12}}\sum _{i=1}^{n}\left(x_{i}y_{i+1}-x_{i+1}y_{i}\right)\left(y_{i}^{2}+y_{i}y_{i+1}+y_{i+1}^{2}\right)\\I_{xy}&={\frac {1}{24}}\sum _{i=1}^{n}\left(x_{i}y_{i+1}-x_{i+1}y_{i}\right)\left(x_{i}y_{i+1}+2x_{i}y_{i}+2x_{i+1}y_{i+1}+x_{i+1}y_{i}\right)\end{aligned}}}