Volumul

rații de Volum, pentru o con, sferă și cilindru de aceeași rază și heightEdit

formulele De mai sus pot fi folosite pentru a arăta că volumele de con, sferă și cilindru de aceeași rază și înălțime sunt în raport de 1 : 2 : 3, după cum urmează.,

Să fie raza r și înălțimea fi h (care este 2r pentru sfera), atunci volumul conului este

1 3 π r 2 h = 1 3 π r 2 ( 2 r ) = ( 2 3 π r 3 ) × 1 , {\displaystyle {\frac {1}{3}}\pi r^{2}, h={\frac {1}{3}}\pi r^{2}\left(2r\right)=\left({\frac {2}{3}}\pi r^{3}\right)\ori 1,}

volumul sferei este

4 3 π r 3 = ( 2 3 π r 3 ) × 2 , {\displaystyle {\frac {4}{3}}\pi r^{3}=\left({\frac {2}{3}}\pi r^{3}\right)\ori 2}

în timp ce volumul cilindrului este

π r 2 h = π r 2 ( 2 r ) = ( 2 3 π r 3 ) × 3., {\displaystyle \ pi r^{2}h = \ pi r^{2} (2R) = \left({\frac {2}{3}}\pi r^{3}\right)\times 3.}

descoperirea raportului 2: 3 al volumelor sferei și cilindrului este creditată lui Arhimede.

Volumul formula derivationsEdit

SphereEdit

volumul unei sfere este parte integrantă dintr-un număr infinit de infinit de mici, circulare, discuri de grosime dx. Calculul pentru volumul unei sfere cu Centrul 0 și raza r este după cum urmează.

suprafața discului circular este π r 2 {\displaystyle \ pi r^{2}} .,

raza de discuri circulare, definită astfel încât axa x se taie perpendicular prin ele,

y = r 2 − x 2 {\displaystyle y={\sqrt {r^{2}-x^{2}}}}

sau

z = r 2 − x 2 {\displaystyle z={\sqrt {r^{2}-x^{2}}}}

în cazul în care y sau z pot fi luate pentru a reprezenta raza de un disc la un anumit x valoare.folosind y ca rază de disc, volumul sferei poate fi calculat ca

∫ − R R π y 2 D x = ∫ − R R π ( r 2 − x 2 ) d x . {\displaystyle \int _{-r}^{r}\pi y^{2}\,dx=\int _{-r}^{r}\pi \left(r^{2}-x^{2}\right)\,dx.,}

acum

∫ – R R π r 2 d x – ∫ – R R π x 2 D x = π − r 3 + R 3) − π 3 ( R 3 + R 3) = 2 π r 3-2 π r 3 3 . {\displaystyle \int _{-r}^{r}\pi r^{2}\,dx-\int _{-r}^{r}\pi x^{2}\,dx=\pi \left(r^{3}+r^{3}\right)-{\frac {\pi }{3}}\left(r^{3}+r^{3}\right)=2\pi r^{3}-{\frac {2\pi r^{3}}{3}}.}

combinarea randamentelor V = 4 3 π r 3 . {\displaystyle V = {\frac {4}{3}}\pi r^{3}.}

această formulă poate fi derivată mai rapid folosind formula pentru suprafața sferei, care este 4 π r 2 {\displaystyle 4 \ pi r^{2}} ., Volumul sferei este format din straturi de cochilii sferice infinitezimale subțiri, iar volumul sferei este egal cu

∫ 0 r 4 π r 2 d r = 4 3 π r 3 . {\displaystyle \ int _ {0}^{r}4 \ pi r^{2}\, dr = {\frac {4}{3}}\pi r^{3}.}

ConeEdit

conul este un tip de formă piramidală. Ecuația fundamentală pentru piramide, de o treime ori Baza ori altitudinea, se aplică și conurilor.cu toate acestea, folosind calculul, volumul unui con este integrala unui număr infinit de discuri circulare infinitezimale subțiri de grosime dx., Calculul pentru volumul unui con de înălțime h, a cărui bază este centrată la (0, 0, 0) cu raza r, este după cum urmează.

raza fiecărui disc circular este r dacă x = 0 și 0 dacă x = h și variază liniar între ele-adică

r h-x h . în cazul în care nu există nici un fel de}

suprafața discului circular este apoi

π ( r h − x h ) 2 = π r 2 (h − x ) 2 h 2 . {\displaystyle \pi \left(r{\frac {h-x}{h}}\right)^{2}=\pi r^{2}{\frac {(h-x)^{2}}{h^{2}}}.,}

volumul conului poate fi apoi calculată ca

∫ 0 h π r 2 ( h − x ) 2 h 2 d x , {\displaystyle \int _{0}^{h}\pi r^{2}{\frac {(h-x)^{2}}{h^{2}}}dx,}

și după extracție ale constantelor

π r 2 h 2 ∫ 0 h ( h − x ) 2 d x {\displaystyle {\frac {\pi r^{2}}{h^{2}}}\int _{0}^{h}(h-x)^{2}dx}

Integrarea ne oferă

π r 2 h 2 ( h 3 3 ) = 1 3 π r 2 h . {\displaystyle {\frac {\pi r^{2}}{h^{2}}}\left({\frac {sec^{3}}{3}}\dreapta)={\frac {1}{3}}\pi r^{2}h.}

PolyhedronEdit