Chiar dacă matematicienii au cheltuit peste 2.000 de ani de disecție structura celor cinci solide Platonice — tetraedru, cub, octaedru, icosaedru și dodecaedru — există încă multe nu știm despre ele.acum, un trio de matematicieni a rezolvat una dintre cele mai de bază întrebări despre dodecaedru.să presupunem că stai la unul dintre colțurile unui solid Platonic., Există o cale dreaptă pe care ați putea să o luați, care vă va întoarce în cele din urmă la punctul de plecare fără a trece prin oricare dintre celelalte colțuri? Pentru cele patru solide platonice construite din pătrate sau triunghiuri echilaterale — cubul, tetraedrul, octaedrul și icosaedrul — matematicienii și-au dat seama recent că răspunsul este nu. Orice cale dreaptă pornind de la un colț va lovi fie un alt colț, fie se va învârti pentru totdeauna fără să se întoarcă acasă. Dar cu dodecaedrul, care este format din 12 pentagoane, matematicienii nu știau la ce să se aștepte.,
Acum Jayadev Athreya, David Aulicino și Patrick Hooper au arătat că un număr infinit de astfel de căi de fapt exista pe dodecaedru. Lucrarea lor, publicată în mai în matematică experimentală, arată că aceste căi pot fi împărțite în 31 de familii naturale.soluția a necesitat tehnici moderne și algoritmi de calculator., „Acum douăzeci de ani, a fost absolut la indemana; de acum 10 ani ar fi nevoie de un efort enorm de a scrie toate software-ul necesar, atât doar că acum toți factorii venit împreună”, a scris Anton Zorich, de la Institutul de Matematică de Jussieu în Paris, într-un e-mail.
proiectul A început în 2016, când Athreya, de la Universitatea din Washington, și Aulicino, la Brooklyn College, a început să joace cu o colecție de carte de stoc decupaje care se îndoaie în sus, în solidele Platonice., Ca au construit diferite solide, a avut loc la Aulicino că un corp de cercetari recente pe plat geometrie ar putea fi exact ceea ce au nevoie pentru a înțelege cărări drepte pe dodecaedru. „Am pus literalmente aceste lucruri împreună”, a spus Athreya. „Deci, a fost un fel de explorare inactiv întâlnește o oportunitate.împreună cu Hooper, de la City College din New York, cercetătorii și-au dat seama cum să clasifice toate căile drepte dintr-un colț înapoi în sine, care evită alte colțuri.analiza lor este „o soluție elegantă”, a declarat Howard Masur de la Universitatea din Chicago., „Este unul dintre aceste lucruri în care pot spune, fără nici o ezitare,” Doamne, oh, aș vrea să fi făcut asta!'”
simetrii ascunse
deși matematicienii au speculat despre căile drepte pe dodecaedru de mai bine de un secol, a existat o renaștere a interesului pentru subiect în ultimii ani, ca urmare a câștigurilor în înțelegerea „suprafețelor de traducere.,”Acestea sunt suprafețe formate prin lipirea laturilor paralele ale unui poligon și s-au dovedit utile pentru studierea unei game largi de subiecte care implică căi drepte pe forme cu colțuri, de la traiectoriile mesei de biliard până la întrebarea când o singură lumină poate lumina o întreagă cameră oglindită.în toate aceste probleme, ideea de bază este să vă derulați forma într-un mod care să simplifice căile pe care le studiați. Deci, pentru a înțelege căile drepte pe un solid Platonic, ai putea începe prin tăierea marginilor suficient de deschise pentru a face solid minciună plat, formând ceea ce matematicienii numesc o plasă., O plasă pentru cub, de exemplu, este o formă T formată din șase pătrate.Imaginați-vă că am aplatizat dodecaedrul și acum mergem de-a lungul acestei forme plate într-o direcție aleasă. În cele din urmă vom lovi marginea plasei, moment în care calea noastră va sări la un pentagon diferit (oricare dintre acestea a fost lipit de Pentagonul nostru actual înainte de a deschide dodecaedrul). Ori de câte ori calea hamei, se rotește, de asemenea, cu un multiplu de 36 de grade.,pentru a evita toate aceste salturi și rotații, atunci când lovim o margine a plasei, am putea lipi în schimb o copie nouă, rotită a plasei și să continuăm direct în ea. Am adăugat unele redundanță: acum avem două pentagoane diferite reprezentând fiecare pentagon pe dodecaedrul original. Așa că am făcut lumea noastră mai complicată — dar calea noastră a devenit mai simplă. Putem continua să adăugăm o nouă plasă de fiecare dată când trebuie să ne extindem dincolo de marginea lumii noastre.,
până când calea noastră a parcurs 10 plase, ne-am rotit plasa originală prin fiecare multiplu posibil de 36 de grade, iar următoarea plasă pe care o adăugăm va avea aceeași orientare ca cea cu care am început. Asta înseamnă că această a 11-A rețea este legată de cea originală printr — o simplă schimbare-ceea ce matematicienii numesc o traducere. În loc să lipim pe o plasă a 11-a, am putea lipi pur și simplu marginea plasei a 10-a la marginea paralelă corespunzătoare din plasa originală., Forma noastră nu va mai sta plată pe masă, dar matematicienii consideră că încă „își amintește” geometria plată din încarnarea sa anterioară — deci, de exemplu, căile sunt considerate drepte dacă au fost drepte în forma unglued. După ce facem toate aceste Lipiri posibile ale marginilor paralele corespunzătoare, ajungem la ceea ce se numește o suprafață de traducere.suprafața rezultată este o reprezentare extrem de redundantă a dodecaedrului, cu 10 copii ale fiecărui pentagon. Și este mult mai complicat: se lipește într-o formă ca o gogoașă cu 81 de găuri., Cu toate acestea, această formă complicată a permis celor trei cercetători să acceseze bogata teorie a suprafețelor de traducere.pentru a aborda această suprafață uriașă, matematicienii și — au suflecat mânecile-figurativ și literal. După ce au lucrat câteva luni la problemă, și-au dat seama că suprafața gogoșilor cu 81 de găuri formează o reprezentare redundantă nu doar a dodecaedrului, ci și a uneia dintre cele mai studiate suprafețe de traducere., Numit Pentagonul dublu, este realizat prin atașarea a două pentagoane de-a lungul unei singure margini și apoi lipirea laturilor paralele pentru a crea o gogoașă cu două găuri, cu o bogată colecție de simetrii.această formă sa întâmplat, de asemenea, să fie tatuată pe brațul lui Athreya. „Dubla pentagonul a fost ceva ce am deja cunoscut și iubit”, a spus Athreya, cine are tatuaj cu un an înainte de a-și Aulicino început să mă gândesc la dodecaedru.deoarece Pentagonul dublu și dodecaedrul sunt veri geometrici, gradul ridicat de simetrie al primului poate elucida structura acestuia din urmă., Este o „simetrie ascunsă uimitoare”, a spus Alex Eskin de la Universitatea din Chicago (care a fost consilierul doctoral al lui Athreya în urmă cu aproximativ 15 ani). „Faptul că dodecaedrul are acest grup de simetrie ascuns este, cred, destul de remarcabil.”