exponentierea este o operație matematică care implică două numere, baza $x$ și exponentul $a$. Când $a$ este un număr întreg pozitiv, exponentierea corespunde multiplicării repetate a bazei.
prin definiție, fiecare număr care are 0 ca exponent este egal cu 1. Aceasta înseamnă că, indiferent cât de mare este baza, dacă exponentul lor este egal cu 0, acel număr este întotdeauna egal cu 1.,
fiecare număr care nu are un exponent atașat la acesta, are de fapt numărul 1 ca exponent. Numărul 1 este exponentul implicit al fiecărui număr, deci nu este necesar să îl scrieți, dar în unele sarcini poate fi util să faceți acest lucru.
unul înmulțit cu unul este întotdeauna unul, indiferent de câte ori repetați înmulțirea, deci 1 la orice putere este întotdeauna egal cu 1.,
puteri Negative
Dacă exponentul este un număr întreg pozitiv, exponentiala corespunde repetate de multiplicare de bază, deci, ce înseamnă dacă exponentul este un număr întreg negativ? Valoarea reciprocă a bazei este decât cea utilizată pentru a transforma exponentul negativ într-un pozitiv.
$a^{- n} = (a^{-1})^n = \ left (\frac{1}{a}\right)^n= \ frac{1}{a^n}$
același lucru este invers. Dacă un necunoscut se află în numitor, numitorul poate deveni numărător schimbând semnul exponentului., În unele cazuri, aceasta se va dovedi a fi o caracteristică foarte utilă, mai ales atunci când lucrați cu numere și funcții inverse.
Exemplu 1: Scrie aceste expresii folosind doar pozitiv exponenți:
o) $o^{-7}$
b) $\frac{-6x^{-1}}{y^5}$
c) $\frac{-12x^{-6}y^{-9}}{z^3}$
Soluție:
o) $o^{-7}=\frac{1}{a^7}$
b) $\frac{-6x^{-1}}{y^5}=\frac{-6}{x^1 \cdot y^5}=\frac{-6}{xy^5}$
c) $\frac{-12x^{-6}y^{-9}}{z^3} = \frac{-12}{x^6 \cdot y^9 \cdot z^3}$
Plus
Cum se adaugă sau se scad exponenții?,cele mai interesante sarcini implică unkowns, dar aceleași reguli se aplică acestora.
Să ne uităm la o ecuație simplă:
Din $\ x = x^1$ și $\ 1 = x^0$ putem scrie ecuația astfel:
Cum ar fi în mod normal o rezolve? Variabilele cu $x$ sunt adăugate separat, și separat variabile fără $x$.,
The same will apply to larger exponents:
$\ x^{12} + 3 \cdot {x^{12}} + 2 \cdot {x^2} = 4 \cdot {x^{12}} + 2 \cdot {x^2}$
Example 2: Add exponents
Scădere
aceleași reguli care se aplică la adăugarea de exponenți, se aplică scăderea la fel de bine.
puteți scădea doar numerele care au necunoscute cu același exponent.
Exemplul 3: scade exponenții:
$ 4x^{12} – 0.25 x^4 + 2x^2 – 3x^2 – 3x^{12} = ?$
soluție:
$ (4x^{12} – 3x^{12}) – 0.25 \ cdot {x^4} + (2x^2 – 3x^2) = x^{12} – 0.25\cdot {x^4} – x^2$
multiplicare
există două reguli de bază pentru înmulțirea exponenților.,
prima regulă – dacă bazele sunt aceleași, exponenții lor sunt adăugați împreună.
De exemplu: $\ 2^{-2} \cdot {2^{-3}} = 2^{- 2 – 3} = 2^{-5} = \left(\frac{1}{2}\right)^5$.a doua regulă – dacă bazele sunt diferite, dar exponenții sunt aceiași, bazele sunt înmulțite și exponenții rămân aceiași.
de exemplu: $ \ 2^2 \ cdot {3^2} = (2 \ cdot {3})^2 = 6^2$.
Exemplul 4:
$ 2^2 \cdot {4^2}=?,$
soluție:
pentru a multiplica doi exponenți, baza lor sau exponenții lor trebuie să fie aceiași. În acest exemplu, nici nu este cazul. Deci, primul pas este de a, ori de câte ori este posibil, pentru a transforma fiecare număr la cea mai mică bază. În acest exemplu, numărul $4$ poate fi scris ca $2^2$.
$ 2^2 \ cdot {(2^2)^2} = ?$
pătratul reprezintă numărul înmulțit de el însuși astfel $\ (2^2)^2$ poate fi scris ca $\ 2^2 \ cdot {2^2} = 2^{2 + 2} = 2^4$.,
From Example 4, this generalisation can be made:
Final solution: $\ 2^2 \cdot {4^2}= 2^2 \cdot {(2^2)^2} = 2^2 \cdot {2^4} = 2^{2+4} = 2^6$.
Example 5:
$ \left(\frac{2}{3}\right)^2 \cdot {0.2^2} = ?,$
Rezolvare:
$$=\left (\frac{2}{3}\right)^2 \cdot \left (\frac{2}{10}\right)^2$$
$$=\left (\frac{2}{3}\right)^2 \cdot\left (\frac{1}{5}\right)^2$$
$$= \left(\frac{2}{3} \cdot \frac{1}{5}\right)^2 $$
$$= \left(\frac{2}{15}\right)^2$$
Exemplul 6:
$\ (x^2-y^3)(x^5 y^4 )$
Rezolvare:
Înmulțirea este asociativă astfel încât ordinea de paranteze nu face o diferență. Factorii cu aceleași baze se înmulțesc așa cum s-a explicat anterior, astfel încât exponenții lor sunt adăugați.,
$ (x^2 \cdot y^3) (x^5 \cdot y^4) = x^2 \cdot x^5 \cdot y^3 \cdot y^4 = x^7 \cdot y^7 = (xy)^7$
diviziune
În ceea ce privește înmulțirea, există două reguli de bază pentru împărțirea exponenților.
prima regulă – când bazele sunt aceleași, exponenții lor sunt scăzuți.
De exemplu: $\ 2^2 : 2 = \frac{2^2}{2} = 2^{2 – 1} = 2^1 = 2$, care pot fi verificate cu ușurință de $4 : 2 = 2$.
De exemplu: $\ 2^{-2} : 2^{-1} =\frac{2^{-2}}{2^{-1} }= 2^{-2-(-1)} = 2^{-1} = \frac{1}{2}$.,a doua regulă – dacă bazele sunt diferite, dar exponenții sunt aceiași, bazele sunt împărțite și exponenții rămân aceiași.
De exemplu: $\ 2^2 : 3^2 = \frac{2^2}{3^2 } = (2 : 3)^2 = \left(\frac{2}{3}\right)^2$.
exemplul 7:
$\frac{4^2}{4^3} + \frac{1}{2}=?$
Rezolvare:
$\frac{4^2}{4^3} + \frac{1}{2} = 4^{2 – 3} + \frac{1}{2} = 4^{-1} + \frac{1}{2} = \frac{1}{4} + \frac{1}{2} = \frac{1 + 2}{4} = \frac{3}{4}$
Exemplul 8:
$\frac{4^5}{4^{-2}} – 0.2 \cdot {4} + \frac{1}{2} \cdot {2^8} = ?,$
Rezolvare:
$\frac{4^5}{4^{-2}} – 0.2 \cdot 4 + \frac{1}{2} \cdot 2^8 = 4^{5 – (-2)} – \frac{2}{10} \cdot 4 + \frac{2^8}{2^1} = 4^{5 + 2} – \frac{1}{5} \cdot 4 + 2^{8 – 1} = 4^7 – \frac{4}{5} + 2^7$
Exemplul 9:
$\frac{18 x^5a^6a^2}{6xy^2a^5} = ?$
Rezolvare:
$\frac{18 x^5a^6a^2}{6xy^2a^5} = 3x^{5 – 1}y^{6 – 2}a^{2 – 5} = 3x^4y^4a^{-3} = \frac{3x^4y^4}{a^3}$
Dacă, la fel ca în acest exemplu, o sarcină implică numai diviziune și multiplicare, fracțiunea pot fi împărțite în două fracțiuni mai mici.,
$\frac{x^2y^3 + x^5y}{xy} = \frac{x^2y^3}{xy} + \frac{x^5y}{xy} = xy^2 + x^4$
Exponents worksheets
Properties of exponents
Numeric expressions (312.6 KiB, 1,893 hits)
Algebraic expressions (450.1 KiB, 1,880 hits)
Basics of exponents
Scientific notation (166.4 KiB, 1,601 hits)
Scientific notation – Write in standard notation (187.,0 Kio, cu 1294 hituri)
Operații cu puteri
Multiplicare (195.3 Kio, 1,883 hituri)
Division (197.0 Kio, 1,589 hituri)
Ridicat la o putere (174.1 Kio, 1,819 hit-uri)