consultați lista momentelor secunde ale zonei pentru alte forme.,\mathrm {d} A=\int _{-{\frac {b}{2}}}^{\frac {b}{2}}\int _{-{\frac {h}{2}}}^{\frac {h}{2}}y^{2}\,\mathrm {d} y\,\mathrm {d} x=\int _{-{\frac {b}{2}}}^{\frac {b}{2}}{\frac {1}{3}}{\frac {sec^{3}}{4}}\,\mathrm {d} x={\frac {bh^{3}}{12}}\\I_{y}&=\iint \limite _{R}x^{2}\,\mathrm {d} Un=\int _{-{\frac {b}{2}}}^{\frac {b}{2}}\int _{-{\frac {h}{2}}}^{\frac {h}{2}}x^{2}\,\mathrm {d} y\,\mathrm {d} x=\int _{-{\frac {b}{2}}}^{\frac {b}{2}}hx^{2}\,\mathrm {d} x={\frac {b^{3}h}{12}}\end{aliniat}}}
Utilizarea perpendicular pe axa teoremă ne dă valoarea lui J z {\displaystyle J_{z}} .,
J z = I x + I y = b h 3 12 + h b 3 12 = b h 12 ( b 2 + h 2 ) {\displaystyle J_{z}=I_{x}+I_{y}={\frac {bh^{3}}{12}}+{\frac {hb^{3}}{12}}={\frac {eg}{12}}\left(b^{2}+h^{2}\right)}
Annulus centrat la originEdit
Annulus cu raza interioară r1 și exterioară de rază r2
luați în Considerare un inelar al cărui centru este, la origine, în afara raza este r 2 {\displaystyle r_{2}} , și în interiorul raza este r 1 {\displaystyle r_{1}} . Datorită simetriei inelului, centroidul se află, de asemenea, la origine., Putem determina momentul polar de inerție, J z {\displaystyle j_{z}}, despre axa z {\displaystyle z} prin metoda formelor compozite. Acest momentul de inerție polar este echivalent cu momentul de inerție polar al unui cerc cu raza r 2 {\displaystyle r_{2}} minus momentul de inerție polar al unui cerc cu raza r 1 {\displaystyle r_{1}} , atât centrat în origine. În primul rând, să derivăm momentul polar de inerție al unui cerc cu raza r {\displaystyle r} în raport cu originea., În acest caz, este mai ușor pentru a calcula direct de J z {\displaystyle J_{z}} ca deja avem r 2 {\displaystyle r^{2}} , care are un x {\displaystyle x} și y {\displaystyle y} componentă. În loc de a obține cel de-al doilea moment al zonei de coordonate Carteziene făcut ca în secțiunea anterioară, vom calcula I x {\displaystyle I_{x}} și J z {\displaystyle J_{z}} direct, folosind coordonate polare.,b3be53f037″>
=\iint \limite _{R}r^{2}\,\mathrm {d} A=\int _{0}^{2\pi }\int _{0}^{r}r^{2}\left(r\,\mathrm {d} r\,\mathrm {d} \theta \right)=\int _{0}^{2\pi }\int _{0}^{r}r^{3}\,\mathrm {d} r\,\mathrm {d} \theta \\&=\int _{0}^{2\pi }{\frac {r^{4}}{4}}\,\mathrm {d} \theta ={\frac {\pi }{2}}r^{4}\end{aliniat}}}
Acum, momentul de inerție polar despre z {\displaystyle z} axa pentru un inelar este pur și simplu, așa cum sa menționat mai sus, diferenta dintre cele doua momente de zona de un cerc cu raza r 2 {\displaystyle r_{2}} și un cerc cu raza r 1 {\displaystyle r_{1}} .,
J z = J z , r 2, J, z , r 1 = π 2 r 2 4 − π 2 r 1 4 = π 2 ( r 2 4 − r 1 4 ) {\displaystyle J_{z}=J_{z,r_{2}}-J_{z,r_{1}}={\frac {\pi }{2}}r_{2}^{4}-{\frac {\pi }{2}}r_{1}^{4}={\frac {\pi }{2}}\left(r_{2}^{4}-r_{1}^{4}\right)}
Alternativ, am putea modifica limitele pe d r {\displaystyle \mathrm {d} r} integrantă prima dată pentru a reflecta faptul că există o gaură. Acest lucru ar fi făcut așa.,r 2 r 2 ( r d r d θ ) = ∫ 0 2 π ∫ r 1 r 2 r 3 d r d θ = ∫ 0 2 π d θ = π 2 ( r 2 4 − r 1 4 ) {\displaystyle {\begin{aliniat}J_{z}&=\iint \limite _{R}r^{2}\,\mathrm {d} A=\int _{0}^{2\pi }\int _{r_{1}}^{r_{2}}r^{2}\left(r\,\mathrm {d} r\,\mathrm {d} \theta \right)=\int _{0}^{2\pi }\int _{r_{1}}^{r_{2}}r^{3}\,\mathrm {d} r\,\mathrm {d} \theta \\&=\int _{0}^{2\pi }\left\,\mathrm {d} \theta ={\frac {\pi }{2}}\left(r_{2}^{4}-r_{1}^{4}\right)\end{aliniat}}}
Orice polygonEdit
Un poligon simplu., Aici, n = 6 {\displaystyle n = 6}, punctul de notificare ” 7 ” este identic cu punctul 1.
al doilea moment al zonei despre originea oricărui poligon simplu pe planul XY poate fi calculat în general prin însumarea contribuțiilor din fiecare segment al poligonului după împărțirea zonei într-un set de triunghiuri. Această formulă este legată de Formula șiretului și poate fi considerată un caz special al teoremei lui Green.
se presupune că un poligon are n {\displaystyle n} noduri, numerotate în sens invers acelor de ceasornic., Dacă vârfurile poligonului sunt numerotate în sensul acelor de ceasornic, valorile returnate vor fi negative, dar valorile absolute vor fi corecte.,y i + 1 − x i + 1 y i ) ( x i-y i + 1 + 2 x i y i + 2 x i + 1 y i + 1 + x i + 1 y i ) {\displaystyle {\begin{aliniat}I_{y}&={\frac {1}{12}}\sum _{i=1}^{n}\left(x_{i}y_{i+1}-x_{i+1}y_{i}\right)\left(x_{i}^{2}+x_{i}x_{i+1}+x_{i+1}^{2}\right)\\I_{x}&={\frac {1}{12}}\sum _{i=1}^{n}\left(x_{i}y_{i+1}-x_{i+1}y_{i}\right)\left(y_{i}^{2}+y_{i}y_{i+1}+y_{i+1}^{2}\right)\\I_{xy}&={\frac {1}{24}}\sum _{i=1}^{n}\left(x_{i}y_{i+1}-x_{i+1}y_{i}\right)\left(x_{i}y_{i+1}+2x_{i}y_{i}+2x_{i+1}y_{i+1}+x_{i+1}y_{i}\right)\end{aligned}}}