Quadrierte Abweichungen vom Mittelwert

In der Situation, in der Daten für k verfügbar sind verschiedene Behandlungsgruppen mit der Größe ni wobei i von 1 bis k variiert, wird angenommen, dass der erwartete Mittelwert jeder Gruppe

E ⁡ ( μ i ) = μ + T i {\displaystyle \operatorname {E} (\mu _{i})=\mu +T_{i}}

und die Varianz jeder Behandlungsgruppe ist unverändert gegenüber der Population varianz σ 2 {\displaystyle \sigma ^{2}} .,

Unter der Nullhypothese, dass die Behandlungen keine Wirkung haben, ist jede der T i {\displaystyle T_{i}} gleich Null.,i ) {\displaystyle T=\sum _{i=1}^{k}\left(\left(\sum x\right)^{2}/n_{i}\right)} E ⁡ ( T ) = k σ 2 + ∑ i = 1 k n i ( µ + T i ) 2 {\displaystyle \operatorname {E} (T)=k\sigma ^{2}+\sum _{i=1}^{k}n_{i}(\mu +T_{i})^{2}} E ⁡ ( T ) = k σ 2 + n μ 2 + 2 μ ∑ i = 1 k ( n i-T i ) + ∑ i = 1 k n i ( T i ) 2 {\displaystyle \operatorname {E} (T)=k\sigma ^{2}+n\mu ^{2}+2\mu \sum _{i=1}^{k}(n_{i}T_{i})+\sum _{i=1}^{k}n_{i}(T_{i})^{2}}

Unter der null-Hypothese, dass die Behandlungen verursachen keine Unterschiede und alle T i {\displaystyle T_{i}} gleich null sind, die Erwartung vereinfacht, um

E ⁡ ( T ) = k σ 2 + n μ 2 ., {\displaystyle \operatorname {E} (T)=k\sigma ^{2}+n\mu ^{2}.,C)=\sigma ^{2}+n\mu ^{2}}

Summen der quadratischen Abweichungen σ

E ⁡ ( I − C ) = ( n − 1 ) σ 2 {\displaystyle \operatorname {E} (I-C)=(n-1)\sigma ^{2}} Summe der quadratischen Abweichungen aka Summe der Quadrate E ⁡ ( T − C ) = ( k − 1 ) σ 2 {\displaystyle \operatorname {E} (T-C)=(k-1)\sigma ^{2}} Restquadratabweichungen aka die Summe der Quadrate E ⁡ ( I − T ) = ( n − k ) σ 2 {\displaystyle \operatorname {E} (I-T)=(n-k)\sigma ^{2}} Restquadratabweichungen aka Restsumme der Quadrate

Die Konstanten (n − 1), (k − 1) und (n − k) werden normalerweise als Anzahl der Freiheitsgrade bezeichnet.,

ExampleEdit

In einem sehr einfachen Beispiel ergeben sich 5 Beobachtungen aus zwei Behandlungen. Die erste Behandlung ergibt drei Werte 1, 2 und 3, und die zweite Behandlung ergibt zwei Werte 4 und 6.

I = 1 2 1 + 2 2 1 + 3 2 1 + 4 2 1 + 6 2 1 = 66 {\displaystyle I={\frac {1^{2}}{1}}+{\frac {2^{2}}{1}}+{\frac {3^{2}}{1}}+{\frac {4^{2}}{1}}+{\frac {6^{2}}{1}}=66} T = ( 1 + 2 + 3 ) 2 3 + ( 4 + 6 ) 2 2 = 12 + 50 = 62 {\displaystyle T={\frac {(1+2+3)^{2}}{3}}+{\frac {(4+6)^{2}}{2}}=12+50=62} C = ( 1 + 2 + 3 + 4 + 6 ) 2 5 = 256 / 5 = 51.2 {\displaystyle C={\frac {(1+2+3+4+6)^{2}}{5}}=256/5=51.,2}

Ergibt

quadratische Gesamtabweichungen = 66-51.2 = 14.8 mit 4 Freiheitsgraden. Behandlungsquadratabweichungen = 62-51.2 = 10.8 mit 1 Freiheitsgrad. Restquadratabweichungen = 66-62 = 4 mit 3 Freiheitsgraden.

Bidirektionale Varianzanalyse

Das folgende hypothetische Beispiel zeigt die Erträge von 15 Pflanzen, die zwei verschiedenen Umweltschwankungen und drei verschiedenen Düngemitteln ausgesetzt sind.,

Es werden fünf Summen von Quadraten berechnet:

Schließlich können die Summen der quadratischen Abweichungen, die für die Varianzanalyse erforderlich sind, berechnet.,