Volume rácios de um cone, esfera e cilindro de mesmo raio e heightEdit
Um cone, esfera e cilindro de raio r e altura h
As fórmulas acima pode ser usado para mostrar que o volume de um cone, esfera e do cilindro, do mesmo raio e altura são na proporção de 1 : 2 : 3, como segue.,
Deixe o raio r e a altura h (que é 2r para a esfera), então o volume do cone é
1 3 π r 2 h = 1 3 π r 2 ( 2 r ) = ( 2 3 π r 3 ) × 1 , {\displaystyle {\frac {1}{3}}\pi r^{2}h={\frac {1}{3}}\pi r^{2}\left(2r\right)=\left({\frac {2}{3}}\pi r^{3}\right)\1,}
o volume da esfera é
4 3 π r 3 = ( 2 3 π r 3 ) × 2 , {\displaystyle {\frac {4}{3}}\pi r^{3}=\left({\frac {2}{3}}\pi r^{3}\right)\times 2,}
enquanto o volume do cilindro é
π r 2 h = π r 2 ( 2 r ) = ( 2 3 π r 3 ) × 3., {\displaystyle \pi r^{2}h= \ pi r^{2}(2r)=\left({\frac {2}{3}}\pi r^{3}\direita)\vezes 3. a descoberta da razão 2 : 3 dos volumes da esfera e cilindro é creditada a Arquimedes.
Volume fórmula derivationsEdit
SphereEdit
O volume de uma esfera é a integral de um número infinito de infinitamente pequeno circular discos de espessura dx. O cálculo para o volume de uma esfera com centro 0 e raio r é o seguinte.
a área de superfície do disco circular É π R 2 {\displaystyle \pi r^{2}} .,
O raio da circular discos, definida de tal forma que o eixo x corta perpendicularmente através deles, é
y = r 2 − x 2 {\displaystyle y={\sqrt {r^{2} x^{2}}}}
ou
z = r 2 − x 2 {\displaystyle z={\sqrt {r^{2} x^{2}}}}
onde y ou z pode ser tomado para representar o raio de um disco de um determinado valor de x.
Usando y como raio de disco, o volume da esfera pode ser calculado como
∫ − r π y 2 D x = ∫ − r r π ( R 2 − x 2 ) D X. {\displaystyle \int _{- r}^{r} \ pi y^{2}\, dx=\int _{- r}^{r} \ pi \esquerda (r^{2}-x^{2}\direita)\,dx.,}
Agora
∫ − r r π r 2 d x − ∫ − r r π x 2 d x = π ( r 3 + r 3 ) − π 3 ( r 3 + r 3 ) = 2 π r 3 − 2 π r 3 3 . {\displaystyle \int _{-r}^{r}\pi r^{2}\,dx-\int _{-r}^{r}\pi x^{2}\,dx=\pi \left(r^{3}+r^{3}\right)-{\frac {\pi }{3}}\left(r^{3}+r^{3}\right)=2\pi r^{3}-{\frac {2\pi r^{3}}{3}}.}
combinação dos rendimentos V = 4 3 π R 3 . {\displaystyle V = {\frac {4}{3}}\pi r^{3}.}
Esta fórmula pode ser derivada mais rapidamente usando a fórmula para a área de superfície da esfera, que é 4 π R 2 {\displaystyle 4\pi r^{2}} ., O volume da esfera consiste em camadas de conchas esféricas infinitesimalmente finas, e o volume da esfera é igual a
∫ 0 r 4 π R 2 d r = 4 3 π R 3 . {\displaystyle \int _{0}^{r}4\pi r^{2}\,dr={\frac {4}{3}}\pi r^{3}. o cone é um tipo de forma piramidal. A equação fundamental para pirâmides, um terço vezes base de altitude vezes, também se aplica a cones.
no entanto, usando o cálculo, o volume de um cone é a integral de um número infinito de discos circulares infinitesimalmente finos de espessura dx., O cálculo para o volume de um cone de altura h, cuja base está centrada em (0, 0, 0) com raio r, é o seguinte.
O raio de cada disco circular é R Se x = 0 e 0 se x = h, e variando linearmente entre—isto é,
r h − x h. {\displaystyle R{\frac {h-x}{h}}}.}
a área de superfície do disco circular é então
π (R h-x h ) 2 = π R 2 ( h − x) 2 h 2 . {\displaystyle \pi \left(r{\frac {h-x}{h}}\right)^{2}=\pi r^{2}{\frac {(h-x)^{2}}{h^{2}}}.,}
O volume do cone pode ser calculada como:
∫ 0 h π r 2 ( h − x ) 2 h 2 d x , {\displaystyle \int _{0}^{h}\pi r^{2}{\frac {(h-x)^{2}}{h^{2}}}dx}
e após a extração das constantes
π r 2 h 2 ∫ 0 h ( h − x ) 2 d x {\displaystyle {\frac {\pi r^{2}}{h^{2}}}\int _{0}^{h}(h-x)^{2}dx}
a Integração dá-nos
π r 2 h 2 h 3 3 ) = 1 3 π r 2 h . {\displaystyle {\frac {\pi r^{2}} {h^{2}}}}\left ({\frac {h^{3}}{3}}\artigo principal: Volume de um poliedro