O uso da exponencial função de janela é atribuída ao de Poisson como uma extensão de uma técnica de análise numérica a partir do século 17, e mais tarde adotou o processamento de sinais da comunidade na década de 1940. Aqui, suavização exponencial é a aplicação da exponencial, ou de Poisson, função de janela. A suavização exponencial foi sugerida pela primeira vez na literatura estatística sem citação ao trabalho anterior de Robert Goodell Brown em 1956, e depois expandida por Charles C. Holt em 1957., A formulação abaixo, que é a comumente usada, é atribuída ao castanho e é conhecida como “suavização exponencial simples de Brown”. Todos os métodos de Holt, Winters e Brown podem ser vistos como uma simples aplicação de filtragem recursiva, encontrada pela primeira vez na década de 1940 para converter filtros de resposta a impulsos finitos (FIR) em Filtros de resposta a impulsos infinitos.
A forma mais simples de suavização exponencial é dada pela fórmula:
s t = α x t + ( 1 − α ) s t − 1 = s t − 1 + α ( x t − s t − 1 ) . {\displaystyle s_{t}=\alpha x_{t}+(1-\alpha )s_{t-1}=s_{t-1}+\alpha (x_{t}-s_{t-1}).,}
Onde α {\displaystyle \alpha } é o factor de suavização, e 0 ≤ α ≤ 1 {\displaystyle 0\leq \alpha \leq 1} . Por outras palavras, a estatística suavizada s t {\displaystyle s_{t}} é uma média ponderada simples da observação actual x t {\displaystyle x_{t}} e da estatística suavizada anterior s t − 1 {\displaystyle S_{t-1}. Simple exponential smoothing is easily applied, and it produces a smoothed statistic as soon as two observations are available.,O termo fator de suavização aplicado para α {\displaystyle \alpha } aqui é um eufemismo, como maiores valores de α {\displaystyle \alpha } na verdade, reduzir o nível de suavização, e, no caso limite, com α {\displaystyle \alpha } = 1 a saída da série é apenas a observação. Os valores de α {\displaystyle \alpha } perto de um têm menos efeito de suavização e dão maior peso às alterações recentes nos dados, enquanto os valores de α {\displaystyle \alpha } mais próximos de zero têm um efeito de suavização maior e são menos sensíveis às alterações recentes.,
Ao contrário de outros métodos de suavização, como a média móvel simples, esta técnica não requer nenhum número mínimo de observações a serem feitas antes de começar a produzir resultados. Na prática, no entanto, uma “boa média” não será alcançada até que várias amostras tenham sido calculadas em conjunto; por exemplo, um sinal constante levará aproximadamente 3 / α {\displaystyle 3/\alpha } estágios para atingir 95% do valor real., Para reconstruir com precisão o sinal original sem perda de Informação todos os estágios da média exponencial móvel também deve estar disponível, porque as amostras mais antigas decaem em peso exponencialmente. Isto está em contraste com uma média móvel simples, em que algumas amostras podem ser ignoradas sem tanta perda de informação devido à constante ponderação das amostras dentro da média. Se um número conhecido de amostras será perdido, um pode ajustar uma média ponderada para isso também, dando igual peso para a nova amostra e todos aqueles a serem ignorados.,
Esta forma simples de suavização exponencial também é conhecida como uma média móvel exponencialmente ponderada (EWMA). Tecnicamente, também pode ser classificado como um modelo autoregressivo de média móvel integrada (ARIMA) (0,1,1) sem termo constante.
time constantEdit
α = 1-e-Δ t / τ {\displaystyle \alpha =1-e^{- \Delta T/\tau}
em que Δ t {\displaystyle \Delta T} é o intervalo de tempo de amostragem da implementação de tempo discreta., Se o tempo de amostragem é rápido em comparação com a constante de tempo ( ∆ T ≪ τ {\displaystyle \Delta T\ll \tau } ) então
α ≈ ∆ T τ {\displaystyle \alpha \approx {\frac {\Delta T}{\tau }}}
a Escolha inicial suavizada valueEdit
Observe que na definição acima, s 0 {\displaystyle s_{0}} está sendo inicializado para x 0 {\displaystyle x_{0}} . Porque a suavização exponencial requer que em cada etapa temos a previsão anterior, não é óbvio como começar o método., Podemos partir do princípio de que a previsão inicial é igual ao valor inicial da procura; no entanto, esta abordagem tem um sério inconveniente. A suavização exponencial coloca um peso substancial nas observações do passado, de modo que o valor inicial da procura terá um efeito excessivamente grande nas previsões iniciais. Este problema pode ser superado permitindo que o processo evolua por um número razoável de períodos (10 ou mais) e usando a média da demanda durante esses períodos como a previsão inicial., Existem muitas outras formas de definir este valor inicial, mas é importante notar que quanto menor for o valor de α {\displaystyle \alpha } , mais sensível será a sua previsão na selecção deste valor inicial mais suave s 0 {\displaystyle s_{0}.
OptimizationEdit
para cada método de suavização exponencial, também precisamos de escolher o valor para os parâmetros de suavização. Para a suavização exponencial simples, existe apenas um parâmetro de suavização (α), mas para os métodos que seguem existe geralmente mais do que um parâmetro de suavização.,
Existem casos em que os parâmetros de nivelamento podem ser escolhidos de forma subjetiva – o meteorologista especifica o valor dos parâmetros de nivelamento com base na experiência anterior. No entanto, uma forma mais robusta e objetiva de obter valores para os parâmetros desconhecidos incluídos em qualquer método de suavização exponencial é estimá-los a partir dos dados observados.,
SSE = ∑ t = 1 T ( y t − y ^ t ∣ t − 1 ) 2 = ∑ t = 1 T t 2 {\displaystyle {\text{SSE}}=\sum _{t=1}^{T}(y_{t}-{\hat {y}}_{t\mid t-1})^{2}=\sum _{t=1}^{T}e_{t}^{2}}
ao contrário do caso de regressão (onde temos fórmulas para calcular diretamente os coeficientes de regressão que minimizam o SSE), isto implica uma não-linear de minimização do problema e precisamos usar uma ferramenta de otimização para executar este procedimento.
namingEdit “exponencial”
o nome ‘suavização exponencial’ é atribuído ao uso da função da janela exponencial durante a convolução., Não é mais atribuído a Holt, Winters & Brown.
Por substituição directa da definição de equações de suavização exponencial simples voltar no próprio vemos que
s t = α x t + ( 1 − α ) s t − 1 = α x t + α ( 1 − α ) x t − 1 + ( 1 − α ) 2 s t − 2 = α + ( 1 − α ) t x 0 . {\displaystyle {\begin{alinhado}s_{t}&=\alpha x_{t}+(1-\alpha )s_{t-1}\\&=\alpha x_{t}+\alpha (1-\alpha )x_{t-1}+(1-\alpha )^{2}s_{t-2}\\&=\alpha \left+(1-\alpha )^{t}x_{0}.,othed estatística s t {\displaystyle s_{t}} torna-se a média ponderada de um maior número de observações passadas s t − 1 , … , s t − {\displaystyle s_{t-1},\ldots ,s_{t}} , e os pesos atribuídos às observações anteriores são proporcionais aos termos da progressão geométrica 1 , ( 1 − α ) , ( 1 − α ) 2 , … , ( 1 − α ) n , … {\displaystyle 1,(1-\alpha ),(1-\alpha )^{2},\ldots ,(1-\alpha )^{n},\ldots }
Uma progressão geométrica é a versão discreto de uma função exponencial, então este é o lugar onde o nome para este método de suavização originou-se de acordo com as Estatísticas lore.,
A comparação com a média móvel
a suavização exponencial e a média móvel têm defeitos semelhantes de introduzir um desfasamento em relação aos dados de entrada. Embora isso possa ser corrigido alterando o resultado em metade do comprimento da janela para um kernel simétrico, como uma média móvel ou gaussiano, não é claro como isso seria apropriado para a suavização exponencial. Ambos também têm aproximadamente a mesma distribuição de erro de previsão quando α = 2/(k + 1)., Diferem na medida em que a suavização exponencial leva em conta todos os dados passados, enquanto a média móvel só leva em conta k pontos de dados passados. Computacionalmente falando, eles também diferem nessa média móvel requer que os pontos de dados K passados, ou o ponto de dados em lag K + 1 Mais o valor de previsão mais recente, a ser mantido, enquanto a suavização exponencial só precisa do valor de previsão mais recente a ser mantido.,
na literatura de processamento de Sinais, o uso de filtros não causais (simétricos) é comum, e a função exponencial da janela é amplamente usada desta forma, mas uma terminologia diferente é usada: suavização exponencial é equivalente a um filtro de primeira ordem de resposta de impulso infinito (IIR) e média móvel é equivalente a um filtro de resposta de impulso finito com fatores de ponderação iguais.