Ver lista dos segundos momentos da área para outras formas.,\mathrm {d} A=\int _{-{\frac {b}{2}}}^{\frac {b}{2}}\int _{-{\frac {h}{2}}}^{\frac {h}{2}}y^{2}\,\mathrm {d} y\,\mathrm {d} x=\int _{-{\frac {b}{2}}}^{\frac {b}{2}}{\frac {1}{3}}{\frac {h^{3}}{4}}\,\mathrm {d} x={\frac {bh^{3}}{12}}\\I_{y}&=\iint \limites _{R}x^{2}\,\mathrm {d} Um=\int _{-{\frac {b}{2}}}^{\frac {b}{2}}\int _{-{\frac {h}{2}}}^{\frac {h}{2}}x^{2}\,\mathrm {d} y\,\mathrm {d} x=\int _{-{\frac {b}{2}}}^{\frac {b}{2}}hx^{2}\,\mathrm {d} x={\frac {b^{3}h}{12}}\end{alinhado}}}
Usando o eixo perpendicular teorema obtemos o valor de J z {\displaystyle J_{z}} .,
J z = I x + I y = b h 3 12 + h b 3 12 = b h 12 ( b 2 + h 2 ) {\displaystyle J_{z}=I_{x}+I_{y}={\frac {bh^{3}}{12}}+{\frac {hb^{3}}{12}}={\frac {bh}{12}}\left(b^{2}+h^{2}\right)}
o Anel centrado no originEdit
Anel com raio interno r1 e raio exterior r2
Considere um anel, cujo centro está na origem, fora do raio é r 2 {\displaystyle r_{2}} , e raio interno é r 1 {\displaystyle r_{1}} . Por causa da simetria do anulo, o centroide também está na origem., Podemos determinar o momento polar de inércia, J z {\displaystyle J_{z}, sobre o eixo z {\displaystyle z} pelo método das formas compostas. Este momento polar de inércia equivalente para o momento polar de inércia de um círculo com raio r 2 {\displaystyle r_{2}} menos o momento polar de inércia de um círculo com raio r 1 {\displaystyle r_{1}} , ambos centrado na origem. Primeiro, vamos derivar o momento polar de inércia de um círculo com raio r {\displaystyle R} em relação à origem., Neste caso, é mais fácil calcular directamente o J z {\displaystyle J_{z} Porque já temos o r 2 {\displaystyle R^{2}} , que tem tanto um componente x {\displaystyle x} como y {\displaystyle y}. Em vez de obter o segundo momento de área a partir das coordenadas cartesianas, como foi feito na secção anterior, vamos calcular I x {\displaystyle I_{x}} e J {\displaystyle J_{z}} directamente usando coordenadas polares.,b3be53f037″>
=\iint \limites _{R}r^{2}\,\mathrm {d} A=\int _{0}^{2\pi }\int _{0}^{r}r^{2}\left(r\,\mathrm {d} r\,\mathrm {d} \theta \right)=\int _{0}^{2\pi }\int _{0}^{r}r^{3}\,\mathrm {d} r\,\mathrm {d} \theta \\&=\int _{0}^{2\pi }{\frac {r^{4}}{4}}\,\mathrm {d} \theta ={\frac {\pi }{2}}r^{4}\end{alinhado}}}
Agora, o momento polar de inércia sobre o z {\displaystyle z} eixo de um anel é simplesmente, como dito acima, a diferença da segunda momentos de área de um círculo com raio r 2 {\displaystyle r_{2}} e um círculo com raio r 1 {\displaystyle r_{1}} .,
J z = J z , r 2 J z , r 1 = π 2 r 2 4 − π 2 r 1 4 = π 2 ( r 2 4 − r 1 4 ) {\displaystyle J_{z}=J_{z,r_{2}}-J_{z,r_{1}}={\frac {\pi }{2}}r_{2}^{4}-{\frac {\pi }{2}}r_{1}^{4}={\frac {\pi }{2}}\left(r_{2}^{4}-r_{1}^{4}\right)}
como Alternativa, poderíamos alterar os limites d o r {\displaystyle \mathrm {d} t}, integrante da primeira vez para refletir o fato de que há um buraco. Isto seria feito assim.,r 2 r 2 ( r d r d θ ) = ∫ 0 2 π ∫ r 1 r 2 r 3 d r d θ = ∫ 0 2 π d θ = π 2 ( r 2 4 − r 1 4 ) {\displaystyle {\begin{alinhado}J_{z}&=\iint \limites _{R}r^{2}\,\mathrm {d} A=\int _{0}^{2\pi }\int _{r_{1}}^{r_{2}}r^{2}\left(r\,\mathrm {d} r\,\mathrm {d} \theta \right)=\int _{0}^{2\pi }\int _{r_{1}}^{r_{2}}r^{3}\,\mathrm {d} r\,\mathrm {d} \theta \\&=\int _{0}^{2\pi }\left\,\mathrm {d} \theta ={\frac {\pi }{2}}\left(r_{2}^{4}-r_{1}^{4}\right)\end{alinhado}}}
Qualquer polygonEdit
Um simples polígono., Aqui, n = 6 {\displaystyle n=6}, o ponto de observação ” 7 ” é idêntico ao ponto 1.
O segundo momento de área sobre a origem para qualquer polígono no plano XY pode ser calculado, em geral, somando-se as contribuições de cada segmento do polígono depois de dividir a área em um conjunto de triângulos. Esta fórmula está relacionada com a fórmula do atacador e pode ser considerada um caso especial do teorema de Green.
um polígono assume-se ter n {\displaystyle n} vértices, numerados no sentido contrário ao dos ponteiros do relógio., Se os vértices do polígono forem numerados no sentido horário, os valores retornados serão negativos, mas os valores absolutos serão corretos.,y i + 1 − x i + 1 y i ) ( x i y i + 1 + 2 x i y i + 2 x i + 1 y i + 1 + x i + 1 y i ) {\displaystyle {\begin{alinhado}I_{y}&={\frac {1}{12}}\sum _{i=1}^{n}\left(x_{i}y_{i+1}-x_{i+1}y_{i}\right)\left(x_{i}^{2}+x_{i}x_{i+1}+x_{i+1}^{2}\right)\\I_{x}&={\frac {1}{12}}\sum _{i=1}^{n}\left(x_{i}y_{i+1}-x_{i+1}y_{i}\right)\left(y_{i}^{2}+y_{i}y_{i+1}+y_{i+1}^{2}\right)\\I_{xy}&={\frac {1}{24}}\sum _{i=1}^{n}\left(x_{i}y_{i+1}-x_{i+1}y_{i}\right)\left(x_{i}y_{i+1}+2x_{i}y_{i}+2x_{i+1}y_{i+1}+x_{i+1}y_{i}\right)\end{aligned}}}