Momentum (Português)

Momentum is a vector quantity: it has both magnitude and direction. Uma vez que o momento tem uma direção, ele pode ser usado para prever a direção resultante e a velocidade de movimento dos objetos depois que eles colidem. Abaixo, as propriedades básicas do momento são descritas em uma dimensão. As equações vetoriais são quase idênticas às equações escalares (ver múltiplas dimensões).

partícula única

o momento de uma partícula é convencionalmente representado pela letra P., É o produto de duas quantidades, a massa da partícula (representada pela letra m) e sua velocidade (v):

p = m v. {\displaystyle p=mv. a unidade de momento é o produto das unidades de massa e velocidade. Em unidades SI, se a massa é em quilogramas e a velocidade é em metros por segundo, então o momento é em quilograma metros por segundo (kg⋅m/s). Em unidades cgs, se a massa é em gramas e a velocidade em centímetros por segundo, então o momento é em centímetros gramas por segundo (g⋅cm/s).

sendo um vetor, o momento tem magnitude e direção., Por exemplo, um avião modelo de 1 kg, viajando para norte a 1 m/s em voo reto e em nível, tem um momento de 1 kg⋅m/s em direção ao norte medido com referência ao solo.

muitas partículas

o momento de um sistema de partículas é a soma vectorial do seu momento. Se duas partículas tiverem as respectivas massas m1 e m2, e velocidades v1 e v2, o momento total é

p = p 1 + p 2 = m 1 v 1 + m 2 v 2 . {\displaystyle {\begin{alinhado}p&=p_{1}+p_{2}\\&=m_{1}v_{1}+m_{2}v_{2}\,.,\end{alinhado}}}

o momento de mais de duas partículas pode ser adicionado mais genericamente com o seguinte:

p = ∑ I m i v I. {\displaystyle p=\sum _{i}m_{i}v_{i}.}

Um sistema de partículas tem um centro de massa, um ponto determinado pela soma ponderada de suas posições:

r cm = m 1 r 1 + m 2 r 2 + ⋯ m 1 + m 2 + ⋯ = ∑ i m i r i ∑ i m eu . {\displaystyle r_{\text{cm}}={\frac {m_{1}r_{1}+m_{2}r_{2}+\cdots }{m_{1}+m_{2}+\cdots }}={\frac {\sum \limites _{i}m_{i}r_{i}}{\sum \limites _{i}m_{i}}}.,}

Se uma ou mais das partículas se movem, o centro de massa do sistema geralmente se moverá também (a menos que o sistema esteja em rotação pura em torno dele). Se a massa total das partículas for m {\displaystyle M}, e o centro de massa estiver se movendo à velocidade vcm, o momento do sistema é:

p = m V cm . {\displaystyle p=mv_{\text{cm}}. esta é conhecida como a primeira lei de Euler.se a força líquida F aplicada a uma partícula é constante, e é aplicada para um intervalo de tempo Δt, o momento da partícula muda por uma quantidade Δ p = f Δ T., {\displaystyle \Delta p=F\Delta t\,. em forma diferencial, esta é a Segunda Lei de Newton; a taxa de mudança do momento de uma partícula é igual à força instantânea f agindo sobre ela, F = d P D T. {\displaystyle F={\frac {dp}{dt}}.}

Se a força líquida experimentada por uma partícula muda em função do tempo, F(t), a variação no momento (ou impulso J ) entre os tempos t1 e t2 é

Δ P = J = ∫ T 1 T 2 F ( t ) D T. {\displaystyle \Delta p=J = \int _{T_{1}}^{T_{2}}} F (t)\,dt\,.,}

Impulso é medida em unidades derivadas do segundo newton (1 N⋅s = 1 kg⋅m/s) ou dyne segunda (1 dyne⋅s = 1 g⋅cm/s)

Sob a suposição de massa constante m, é equivalente a escrever

F = d ( m v ) d t = m d v d t = m a , {\displaystyle F={\frac {d(mv)}{dt}}=m{\frac {dv}{dt}}=ma,}

portanto, a força resultante é igual à massa da partícula vezes a sua aceleração.

exemplo: um avião modelo de massa de 1 kg acelera do repouso para uma velocidade de 6 m / S para o norte em 2 S. A força líquida necessária para produzir esta aceleração é de 3 newtons para o norte., A mudança de momento é de 6 kg⋅m / s para norte. A taxa de mudança de momento é de 3 (kg⋅m/s)/s devido ao norte, o que é numericamente equivalente a 3 newtons.

conservação

em um sistema fechado (um que não troca qualquer matéria com seu entorno e não é atuado por forças externas) o momento total é constante. Este fato, conhecido como a lei da conservação do momento, está implícito nas leis de Newton do movimento. Suponha, por exemplo, que duas partículas interagem. Por causa da terceira lei, as forças entre eles são iguais e opostas., Se as partículas são numeradas 1 e 2, a segunda lei afirma que F1 = dp1/dt e F2 = dp2/dt. Portanto,

d p 1 d t = − d p 2 d t , {\displaystyle {\frac {dp_{1}}{dt}}=-{\frac {dp_{2}}{dt}},}

com o sinal negativo, indicando que as forças que se opõem. Equivalentemente,

d D t (p 1 + p 2) = 0. {\displaystyle {\frac {d}{dt}}\left (p_{1}+p_{2}\right)=0.}

Se as velocidades das partículas forem u1 e u2 antes da interacção, e depois forem v1 e v2, então

m 1 u 1 + m 2 u 2 = m 1 v 1 + m 2 v 2 . {\displaystyle m_{1}u_{1}+m_{2}u_{2}=m_{1}v_{1}+m_{2}v_{2}., esta lei aplica-se independentemente da complexidade da força entre as partículas. Da mesma forma, se existem várias partículas, o momento trocado entre cada par de partículas adiciona-se a zero, de modo que a mudança total no momento é zero. Esta lei de conservação aplica-se a todas as interacções, incluindo colisões e separações causadas por forças explosivas. Pode também ser generalizada a situações em que as leis de Newton não se aplicam, por exemplo, na teoria da relatividade e na electrodinâmica.,

dependência do quadro de referência

Momentum é uma quantidade mensurável, e a medição depende do movimento do observador., Por exemplo: se uma maçã está sentada em um elevador de vidro que está descendo, um observador externo, olhando para o elevador, vê a maçã se movendo, então, para esse observador, a maçã tem um momento não-zero. Para alguém dentro do elevador, a maçã não se move, por isso, não tem impulso. Os dois observadores cada um tem um quadro de referência, no qual, eles observam movimentos, e, se o elevador está descendo de forma constante, eles verão comportamento que é consistente com essas mesmas leis físicas.

suponha que uma partícula tenha a posição x num quadro estacionário de referência., Do ponto de vista de outro quadro de referência, movendo − se a uma velocidade uniforme u, a posição (representada por uma coordenada preparada) muda com o tempo como

x ‘ = x-u T. {\displaystyle x’=x-ut\,. isto é chamado de transformação Galileia. Se a partícula está se movendo a velocidade dx / dt = v no primeiro quadro de referência, no segundo, está se movendo a velocidade v ‘= d x ‘ d t = v − U. {\displaystyle v’={\frac {dx’} {dt}}=v-u\,.}

Uma vez que u não muda, as acelerações são as mesmas:

A ‘= d v ‘ d T = A. {\displaystyle A’ = {\frac {dv’} {dt}=a\,.,}

assim, o momento é conservado em ambos os quadros de referência. Além disso, enquanto a força tiver a mesma forma, em ambos os quadros, a Segunda Lei de Newton permanece inalterada. Forças como a gravidade newtoniana, que dependem apenas da distância escalar entre objetos, satisfazem este critério. Esta independência do quadro de referência é chamada de relatividade Newtoniana ou invariância de Galileu.

uma mudança de referencial, pode, muitas vezes, simplificar cálculos de movimento. Por exemplo, em uma colisão de duas partículas, um quadro de referência pode ser escolhido, onde, uma partícula começa em repouso., Outro referencial, comumente usado, é o centro do referencial de massa-um que está se movendo com o centro de massa. Neste quadro, o momento total é zero.

aplicação a colisões

por si só, a lei de conservação do momento não é suficiente para determinar o movimento das partículas após uma colisão. Outra propriedade do movimento, a energia cinética, deve ser conhecida. Isto não é necessariamente conservado. Se for conservada, a colisão é chamada de colisão elástica; se não for, é uma colisão inelástica.,

colisões Elásticas

Uma colisão elástica é aquele no qual a energia cinética é absorvida na colisão. Colisões perfeitamente elásticas podem ocorrer quando os objetos não se tocam, como por exemplo em dispersão atômica ou nuclear, onde a repulsão elétrica os mantém separados., Uma manobra de fisga de um satélite em torno de um planeta também pode ser vista como uma colisão perfeitamente elástica. Uma colisão entre duas bolas de bilhar é um bom exemplo de uma colisão quase totalmente elástica, devido à sua alta rigidez, mas quando os corpos entram em contato há sempre alguma dissipação.

uma colisão elástica frontal entre dois corpos pode ser representada por velocidades numa dimensão, ao longo de uma linha que passa através dos corpos., Se as velocidades são u1 e u2 antes da colisão e v1 e v2, depois, as equações que expressam conservação da quantidade de movimento e energia cinética são:

m 1 u 1 + m 2 u 2 = m 1 v 1 + m 2 v 2 1 2 m 1 u 1 2 + 1 2 m 2 u 2 2 = 1 2 m 1 v 1 2 + 1 2 m 2 v 2 a 2 . {\displaystyle {\begin{alinhado}m_{1}u_{1}+m_{2}u_{2}&=m_{1}v_{1}+m_{2}v_{2}\\{\tfrac {1}{2}}m_{1}u_{1}^{2}+{\tfrac {1}{2}}m_{2}u_{2}^{2}&={\tfrac {1}{2}}m_{1}v_{1}^{2}+{\tfrac {1}{2}}m_{2}v_{2}^{2}\,.\end{alinhado}}}

uma mudança de referencial pode simplificar a análise de uma colisão., Por exemplo, suponha que haja dois corpos de massa igual m, um estacionário e um se aproximando do outro a uma velocidade v (como na figura). O centro de massa está se movendo na velocidade v/2 e ambos os corpos estão se movendo em direção a ela na velocidade v / 2. Devido à simetria, após a colisão ambos devem estar se afastando do centro da massa na mesma velocidade. Adicionando a velocidade do centro de massa a ambos, descobrimos que o corpo que estava se movendo está agora parado e o outro está se afastando a velocidade v. os corpos trocaram suas velocidades., Independentemente das velocidades dos corpos, uma mudança para o centro da estrutura de massa leva-nos à mesma conclusão. Portanto, as velocidades finais são dadas por

v 1 = u 2 v 2 = u 1 . {\displaystyle {\begin{alinhado}v_{1}&=u_{2}\\v_{2}&=u_{1}\,.,\end{alinhado}}}

Em geral, quando as velocidades iniciais são conhecidos, a final, as velocidades são dadas por

v 1 = ( m 1 − m 2 m 1 + m 2 ) u 1 + ( 2 m 2 m 1 + m 2 ) u 2 {\displaystyle v_{1}=\left({\frac {m_{1}-m_{2}}{m_{1}+m_{2}}}\right)u_{1}+\left({\frac {2m_{2}}{m_{1}+m_{2}}}\right)u_{2}\,} v 2 = ( m 2 − m 1 m 1 + m 2 ) u 2 + ( 2 m 1 m 1 + m 2 ) u 1 . {\displaystyle v_{2}=\left({\frac {m_{2}-m_{1}}{m_{1}+m_{2}}}\right)u_{2}+\left({\frac {2m_{1}}{m_{1}+m_{2}}}\right)u_{1}\,., se um corpo tem uma massa muito maior do que o outro, a sua velocidade será pouco afectada por uma colisão, enquanto o outro corpo sofrerá uma grande mudança.

Inelástica colisões

Em uma colisão inelástica, alguns da energia cinética da colisão de corpos é convertida em outras formas de energia (tais como o calor ou o som)., Exemplos incluem colisões de trânsito, no qual o efeito da perda de energia cinética pode ser visto na danos a veículos; elétrons de perder alguma da sua energia para os átomos (como no Franck–Hertz de experiência); e aceleradores de partículas, em que a energia cinética é convertida em massa, na forma de novas partículas.

em uma colisão perfeitamente inelástica( como um bug batendo um pára-brisas), ambos os corpos têm o mesmo movimento depois. Uma colisão inelástica frontal entre dois corpos pode ser representada por velocidades numa dimensão, ao longo de uma linha que passa através dos corpos., Se as velocidades forem u1 e u2 antes da colisão, em uma colisão perfeitamente inelástica ambos os corpos viajarão com velocidade v após a colisão. A equação que expressa a conservação do momento é:

m 1 U 1 + m 2 u 2 = (m 1 + m 2 ) v. {\displaystyle {\begin{alinhado}m_{1}u_{1}+m_{2}u_{2}&=\left(m_{1}+m_{2}\right)v\,.\end{alinhado}}}

Se um corpo estiver imóvel para começar (ex., u 2 = 0 {\displaystyle u_{2}=0} ), a equação da conservação da quantidade de movimento é

m 1 u 1 = ( m 1 + m 2 ) v , {\displaystyle m_{1}u_{1}=\left(m_{1}+m_{2}\right)v,\,,}

assim

v = m 1 m 1 + m 2 u 1 . {\displaystyle v={\frac {m_{1}}{m_{1}+m_{2}}}u_{1}\,.}

Em uma situação diferente, se o quadro de referência é a mover-se à velocidade final, tais que v = 0 {\displaystyle v=0} , os objetos seriam trazidos para descansar por um perfeitamente inelástica, colisão e 100% da energia cinética é convertida em outras formas de energia., Neste caso, as velocidades iniciais dos corpos seriam não-zero, ou os corpos teriam que ser sem massa.

uma medida da inelasticidade da colisão é o coeficiente de restituição CR, definido como a razão entre a velocidade relativa de separação e a velocidade relativa de aproximação. Ao aplicar esta medida a uma bola saltando de uma superfície sólida, esta pode ser facilmente medida usando a seguinte fórmula:

C R = altura da queda . {\displaystyle C_{\text{R}}={\sqrt {\frac {\text{bounce height}}} {\text{drop height}}}}}}}}\,., as equações de momento e energia também se aplicam aos movimentos dos objetos que começam juntos e depois se afastam. Por exemplo, uma explosão é o resultado de uma reação em cadeia que transforma a energia potencial armazenada em forma química, mecânica ou nuclear em energia cinética, energia acústica e radiação eletromagnética. Foguetes também fazem uso da conservação do momentum: o propulsor é empurrado para fora, ganhando momentum, e um momentum igual e oposto é transmitido ao foguete.,

Múltiplas dimensões

movimento Real tem direção e velocidade e deve ser representado por um vetor. Em um sistema de coordenadas com eixos x, y, z, a velocidade tem componentes vx na direção x, vy na direção y, vz na direção z., O vetor é representado por um símbolo em negrito:

v = ( v x , v y , v z ) . {\displaystyle \mathbf {v} = \left(V_{x},v_{y},v_{z} \ right).}

Similarly , the momentum is a vector quantity and is represented by a boldface symbol:

p = ( p x , p y, p z ) . {\displaystyle \mathbf {p} = \ left (p_{x},p_{y},p_{z}\right).}

As equações nas secções anteriores, funcionam na forma vectorial se os escalares P E v forem substituídos por vectores P E v. cada equação vectorial representa três equações escalares., Por exemplo,

p = m v {\displaystyle \mathbf {p} =m\mathbf {v} }

representa três equações:

p x = m v x p y = m v y p z = m v z . {\displaystyle {\begin{alinhado}p_{x}&=mv_{x}\\p_{y}&=mv_{y}\\p_{z}&=mv_{z}.\end{alinhado}}}

As equações de energia cinética são excepções à regra de substituição acima. As equações ainda são unidimensionais, mas cada escalar representa a magnitude do Vetor, por exemplo,

v 2 = v x 2 + v y 2 + v z 2 . {\displaystyle V^{2}=v_{x}^{2}+v_{y}^{2}+v_{z}^{2}\,.,

cada equação vetorial representa três equações escalares. Muitas vezes as coordenadas podem ser escolhidas para que apenas dois componentes sejam necessários, como na figura. Cada componente pode ser obtido separadamente e os resultados combinados para produzir um resultado vetorial.

uma construção simples envolvendo o centro da moldura de massa pode ser usada para mostrar que se uma esfera elástica estacionária é atingida por uma esfera em movimento, os dois vão se afastar em ângulos retos após a colisão (como na figura).,

objetos de massa variável

o conceito de momento desempenha um papel fundamental na explicação do comportamento de objetos de massa variável como um foguete ejetando combustível ou um gás de acreção de estrelas. Ao analisar tal objeto, trata-se a massa do objeto como uma função que varia com o tempo: m(t). O momento do objeto no momento t é, portanto, p(t) = m(t)v (t)., Poderíamos, então, tentar chamar a segunda lei de Newton do movimento, dizendo que a força externa F do objeto está relacionada com o seu momentum p(t) F = dp/dt, mas isso é incorreto, como é o relacionado expressão encontrada aplicando a regra do produto para d(mv)/dt:

F = m ( t ) d v d t + v ( t ) d m d t . {\displaystyle F=m(t){\frac {dv}{dt}+v (t){\frac {dm} {dt}}.} (incorrecto)

esta equação não descreve correctamente o movimento dos objectos de massa variável., A equação correcta é

F = m ( t ) d v d t u d m d t , {\displaystyle F=m(t){\frac {dv}{dt}} u{\frac {dm}{dt}},}

, onde u é a velocidade do ejetado/crescia em massa, como visto no objeto do resto do quadro. Isto é distinto de v, que é a velocidade do próprio objeto visto em um referencial inercial.

esta equação é derivada mantendo o controle tanto do momento do objeto quanto do momento da massa ejetada/acretada (dm). Quando considerados juntos, o objeto e a massa (dm) constituem um sistema fechado no qual o momento total é conservado.,

P ( t + d t) = (m – D, m) (v + D v) + D m (V-u) = m v + m D v u D a M = P(t ) + m D v U D o M {\displaystyle P (t+dt) = (m-dm) (V+dv) + dm(v-U) = mv + mdv-udm=P (t) + mdv-udm}