Mesmo que os matemáticos passaram mais de 2.000 anos dissecando a estrutura dos cinco sólidos Platónicos — o tetraedro, cubo, octaedro, icosaedro e dodecaedro — ainda há muito que não sabemos sobre eles.
agora, um trio de matemáticos resolveu uma das questões mais básicas sobre o dodecaedro.suponha que está em um dos cantos de um sólido platônico., Há algum caminho recto que você poderia tomar que eventualmente retornaria ao seu ponto de partida sem passar por qualquer um dos outros cantos? Para os quatro sólidos platônicos construídos a partir de quadrados ou triângulos equiláteros — o cubo, tetraedro, octaedro e icosaedro — matemáticos descobriram recentemente que a resposta é não. Qualquer caminho recto a partir de um canto ou bater em outro canto ou dar a volta para sempre sem voltar para casa. Mas com o dodecaedro, que é formado a partir de 12 pentágonos, os matemáticos não sabiam o que esperar.,Jayadev Athreya, David Aulicino e Patrick Hooper mostraram que um número infinito de tais caminhos existem de fato no dodecaedro. Seu artigo, publicado em Maio em Matemática Experimental, mostra que esses caminhos podem ser divididos em 31 famílias naturais.
a solução requeria técnicas modernas e algoritmos de computador., “Vinte anos atrás, estava absolutamente fora de alcance; 10 anos atrás, seria necessário um enorme esforço de escrever todo o software necessário, tão somente, agora, todos os fatores vieram juntos,” escreveu Anton Zorich, do Instituto de Matemática de Jussieu em Paris, em um e-mail.
O projeto começou em 2016, quando Athreya, da Universidade de Washington, e Aulicino, do Brooklyn College, começou a tocar com uma coleção de cartões recortes que dobrar os sólidos Platônicos., À medida que construíram os diferentes sólidos, ocorreu aulicino que um corpo de pesquisas recentes sobre geometria plana pode ser exatamente o que eles precisariam para entender caminhos rectos no dodecaedro. “Estávamos literalmente montando essas coisas”, disse Athreya. “Então era uma espécie de exploração ociosa encontra uma oportunidade.juntamente com Hooper, da City College of New York, Os pesquisadores descobriram como classificar todos os caminhos retos de um canto para trás para si que evitam outros cantos.sua análise é “uma solução elegante”, disse Howard Masur da Universidade de Chicago., “É uma dessas coisas em que posso dizer, sem qualquer hesitação, ‘meu Deus, Oh, Quem me dera ter feito isso!'”
simetrias escondidas
embora matemáticos tenham especulado sobre caminhos rectos no dodecaedro por mais de um século, houve um ressurgimento do interesse no assunto nos últimos anos, após ganhos em entender “superfícies de tradução.,”Estas são superfícies formadas pela colagem de lados paralelos de um polígono, e elas provaram ser úteis para estudar uma ampla gama de tópicos envolvendo caminhos retos em formas com cantos, desde trajetórias de mesa de bilhar até a questão de quando uma única luz pode iluminar uma sala espelhada inteira.
em todos estes problemas, a ideia básica é desenrolar a sua forma de uma forma que torne os caminhos que você está estudando mais simples. Então, para entender caminhos retos em um sólido platônico, você poderia começar cortando bordas o suficiente para tornar a mentira sólida plana, formando o que os matemáticos chamam de rede., Uma rede para o cubo, por exemplo, é uma forma T feita de seis quadrados.Imagine que nós achatamos o dodecaedro, e agora estamos caminhando ao longo desta forma plana em alguma direção escolhida. Eventualmente, atingiremos o limite da rede, e nesse ponto o nosso caminho irá saltar para um pentágono diferente (qualquer que tenha sido colado ao nosso Pentágono actual antes de abrirmos o dodecaedro). Sempre que o caminho salta, ele também gira em alguns múltiplos de 36 graus.,
para evitar todo este salto e rotação, quando atingimos uma borda da rede, poderíamos, em vez disso, colar em uma nova cópia girada da rede e continuar direto para ela. Nós adicionamos alguma redundância: agora temos dois pentágonos diferentes representando cada Pentágono no dodecaedro original. Então, tornamos o nosso mundo mais complicado, mas o nosso caminho tornou-se mais simples. Podemos continuar adicionando uma nova rede cada vez que precisamos expandir além da borda de nosso mundo.,
no momento em que o nosso caminho percorreu 10 redes, rodamos a nossa rede original através de cada possível múltiplo de 36 graus, e a próxima rede que adicionarmos terá a mesma orientação que a que começamos. Isso significa que esta 11ª rede está relacionada com a original por uma simples mudança — o que os matemáticos chamam de tradução. Em vez de colarmos numa 11ª rede, poderíamos simplesmente colar a borda da 10ª rede à correspondente borda paralela na rede original., A nossa forma não ficará mais plana sobre a mesa, mas os matemáticos consideram — na como ainda “lembrando” a geometria plana da sua encarnação anterior-por isso, por exemplo, os caminhos são considerados retos se forem retos na forma não eludida. Depois de fazermos todas essas colagens possíveis de bordas paralelas correspondentes, acabamos com o que é chamado de superfície de tradução.
a superfície resultante é uma representação altamente redundante do dodecaedro, com 10 cópias de cada Pentágono. E é massivamente mais complicado: cola-se em uma forma como um donut com 81 buracos., No entanto, esta forma complicada permitiu aos três pesquisadores acessar a rica teoria das superfícies de tradução.para enfrentar esta superfície gigante, os matemáticos arregaçaram as mangas — figurativamente e literalmente. Depois de trabalhar no problema por alguns meses, eles perceberam que a superfície de donut de 81 buracos forma uma representação redundante não apenas do dodecaedro, mas também de uma das superfícies de tradução mais estudadas., Chamado de pentágono duplo, é feito através da fixação de dois pentágonos ao longo de uma única aresta e, em seguida, colando os lados paralelos para criar um donut de duas faces com uma rica coleção de simetrias.esta forma também foi tatuada no braço de Athreya. “O Pentágono duplo era algo que eu já conhecia e amava”, disse Athreya, que fez a tatuagem um ano antes de ele e Aulicino começarem a pensar sobre o dodecaedro.porque o Pentágono duplo e o dodecaedro são primos geométricos, o alto grau de simetria do primeiro pode elucidar a estrutura do segundo., É uma “simetria oculta incrível”, disse Alex Eskin da Universidade de Chicago (que foi o conselheiro de doutorado de Athreya cerca de 15 anos atrás). “O fato de que o dodecaedro tem esse grupo de simetria escondido é, eu acho, bastante notável.”