a matriz Laplaciana pode ser interpretada como uma representação de matriz de um caso particular do operador discreto Laplace. Tal interpretação permite, por exemplo, generalizar a matriz Laplaciana para o caso de grafos com um número infinito de vértices e arestas, levando a uma matriz Laplaciana de um tamanho infinito.
d ϕ i d t = − k ∑ j i j ( φ i − φ j ) = − k ( ϕ i ∑ j i j − ∑ j i j ϕ j ) = − k ( ϕ eu graus ( v i ) − ∑ j i j ϕ j ) = − k ∑ j ( δ i j graus ( v i ) − A i j ) ϕ j = − k ∑ j ( ℓ i j ) ϕ j ., {\displaystyle {\begin{alinhado}{\frac {d\phi _{i}}{dt}}&=-k\am _{j}A_{ij}\left(\phi _{i}-\phi _{j}\right)\\&=-k\left(\phi _{i}\am _{j}A_{ij}-\am _{j}A_{ij}\phi _{j}\right)\\&=-k\left(\phi _{i}\ \deg(v_{i})-\I _{j}A_{ij}\phi _{j}\right)\\&=-k\am _{j}\left(\delta _{ij}\ \deg(v_{i})-A_{ij}\right)\phi _{j}\\&=-k\am _{j}\left(\ell _{ij}\right)\phi _{j}.,\end{alinhado}}}
Na matriz-vetor de notação
d ϕ d t = − k ( D − A ) ϕ = − k L ϕ , {\displaystyle {\begin{alinhado}{\frac {d\phi }{dt}}&=-k(D-A)\phi \\&=-kL\phi ,\end{alinhado}}}
o que dá
d ϕ d t + k L ϕ = 0. {\displaystyle {\frac {d\phi }{dt}+kL\phi =0.}
Notice that this equation takes the same form as the heat equation, where the matrix-L is replacing the Laplacian operator ∇ 2 {\textstyle \nabla ^{2}}}; hence, the “graph Laplacian”.,
0 = d ( ∑ i c i ( t ) v i ) d t + k L ( ∑ i c i ( t ) v i ) = ∑ i = ∑ i ⇒ d c i ( t ) d t + k λ i c i ( t ) = 0 , {\displaystyle {\begin{alinhado}0=&{\frac {d\left(\sum _{i}c_{i}(t)\mathbf {v} _{i}\right)}{dt}}+kL\left(\sum _{i}c_{i}(t)\mathbf {v} _{i}\right)\\=&\sum _{i}\left\\=&\sum _{i}\left\\\Rightarrow &{\frac {dc_{i}(t)}{dt}}+k\lambda _{i}c_{i}(t)=0,\\\end{alinhado}}}
cuja solução é
c i ( t ) = c i ( 0 ) e − k λ i t . {\displaystyle c_{i} (t)=c_{i}(0) e^{-k\lambda _{i}t}.,} c i ( 0 ) = ⟨ ϕ ( 0 ) , v i ⟩ {\displaystyle c_{i}(0)=\left\langle \phi (0),\mathbf {v} _{i}\right\rangle } .
no caso de grafos não direcionados, isso funciona porque L {\textstyle l} é simétrico, e pelo teorema espectral, seus autovetores são todos ortogonais. Assim, a projeção sobre os autovetores de l {\textstyle l} é simplesmente uma transformação ortogonal de coordenadas da condição inicial para um conjunto de coordenadas que decaem exponencialmente e independentemente um do outro.,
Equilíbrio behaviorEdit
lim t → ∞ e − k λ i t = { 0 se λ i > 0 1 se λ i = 0 } {\displaystyle \lim _{t\to \infty }e^{-k\lambda _{i}t}=\left\{{\begin{array}{rlr}0&{\text{se}}&\lambda _{i}>0\\1&{\text{se}}&\lambda _{i}=0\end{array}}\right\}}
Em outras palavras, o estado de equilíbrio do sistema é completamente determinado pelo kernel do L {\textstyle L} .,
A consequência disto é que, para uma dada condição inicial c ( 0 ) {\textstyle c(0)} para um grafo com N {\textstyle N} vértices
lim t → ∞ ϕ ( t ) = ⟨ c ( 0 ) , v 1 ⟩ v 1 {\displaystyle \lim _{t\to \infty }\phi (t)=\left\langle c(0),\mathbf {v^{1}} \right\rangle \mathbf {v^{1}} }
onde
v 1 = 1 N {\displaystyle \mathbf {v^{1}} ={\frac {1}{\sqrt {N}}}} lim t → ∞ ϕ j ( t ) = 1 N ∑ i = 1 N c i ( 0 ) {\displaystyle \lim _{t\to \infty }\phi _{j}(t)={\frac {1}{N}}\sum _{i=1}^{N}c_{i}(0)} .,
em outras palavras, Em estado estacionário, o valor de ϕ {\textstyle \phi } converge para o mesmo valor em cada um dos vértices do grafo, que é a média dos valores iniciais em todos os vértices. Uma vez que esta é a solução para a equação de difusão de calor, isso faz sentido intuitivamente. Esperamos que os elementos vizinhos no gráfico troquem energia até que essa energia seja distribuída uniformemente por todos os elementos que estão conectados uns aos outros.,
Exemplo do operador em uma gridEdit
Esse GIF mostra a progressão da difusão, como resolvidos pelo gráfico laplaciano técnica. Um grafo é construído sobre uma grade, onde cada pixel no grafo é conectado a seus 8 pixels limítrofes. Os valores na imagem então se difunde suavemente para seus vizinhos ao longo do tempo através dessas conexões. Esta imagem em particular começa com três pontos fortes que se espalham lentamente para os seus vizinhos. Todo o sistema eventualmente se estabelece ao mesmo valor em equilíbrio.,
Esta secção mostra um exemplo de uma função ϕ {\textstyle \phi } difundindo ao longo do tempo através de um gráfico. O grafo neste exemplo é construído em uma grade 2D discreta, com pontos na grade conectados a seus oito vizinhos. Três pontos iniciais são especificados para ter um valor positivo, enquanto o resto dos valores na grade são zero. Ao longo do tempo, o decaimento exponencial atua para distribuir os valores nesses pontos uniformemente por toda a grade.
o código fonte Matlab completo que foi usado para gerar esta animação é fornecido abaixo., Ele mostra o processo de especificar as condições iniciais, projetando essas condições iniciais sobre os autovalores da matriz Laplaciana, e simulando o decaimento exponencial dessas condições iniciais projetadas.