pęd jest wielkością wektorową: ma zarówno wielkość, jak i kierunek. Ponieważ pęd ma kierunek, można go wykorzystać do przewidywania powstałego kierunku i prędkości ruchu obiektów po zderzeniu. Poniżej podstawowe własności pędu opisane są w jednym wymiarze. Równania wektorowe są prawie identyczne z równaniami skalarnymi (zob. wiele wymiarów).
pojedyncza cząstka
moment pędu cząstki jest konwencjonalnie reprezentowany przez literę P., Jest to iloczyn dwóch wielkości, masy cząstki (reprezentowanej przez literę m) i jej prędkości (v):
p = m v . {\displaystyle p = mv.}
Jednostka pędu jest iloczynem jednostek masy i prędkości. W jednostkach SI, jeśli masa jest w kilogramach, a prędkość jest w metrach na sekundę, to pęd jest w kilogramach metrów na sekundę (kg⋅m / s). W jednostkach cgs, jeśli masa jest w gramach, a prędkość w centymetrach na sekundę, to pęd jest w gramach centymetrów na sekundę (g⋅cm/s).
będąc wektorem, pęd ma wielkość i kierunek., Na przykład model samolotu o masie 1 kg, poruszający się na północ z prędkością 1 m/s w locie prostym i poziomym, ma pęd wynoszący 1 kg⋅m/s na północ, mierzony w odniesieniu do ziemi.
wiele cząstek
pęd układu cząstek jest sumą wektorową ich pędu. Jeśli dwie cząstki mają odpowiednie masy m1 i m2 oraz prędkości v1 i v2, całkowity pęd wynosi
p = p 1 + P 2 = m 1 v 1 + m 2 v 2 . {\displaystyle {\begin{aligned} p& = p_{1}+p_{2}\ \ &=m_{1}v_{1}+M_{2}v_{2}\,.,\ end{aligned}}}
pęd więcej niż dwóch cząstek można dodać ogólniej za pomocą następującego wzoru:
P = ∑ i m i v i . {\displaystyle p= \ sum _{i} m_ {i} v_{i}.}
układ cząstek ma środek masy, punkt określony przez ważoną sumę ich pozycji:
R cm = m 1 r 1 + m 2 R 2 + ⋯ m 1 + m 2 + ⋯ = i i m i R i ∑ I m i . {\displaystyle r_ {\text{cm}}={\frac {M_{1} r_{1}+M_{2} r_{2}+ \ cdots} {m_{1}+m_{2}+ \ cdots }} ={\frac {\Sum \limits _{i}m_{i}r_ {i}} {\Sum \limits _ {i}m_ {i}}}}}.,}
Jeśli jedna lub więcej cząstek porusza się, środek masy układu zazwyczaj również się porusza (chyba że układ jest w czystym obrocie wokół niego). Jeśli całkowita masa cząstek wynosi m {\displaystyle m}, a środek masy porusza się z prędkością vcm, to pęd układu wynosi:
p = M V cm . {\displaystyle p=mv_ {\text{cm}}.
jest to znane jako pierwsze prawo Eulera.
stosunek do siły
jeśli siła netto f przyłożona do cząstki jest stała i jest przyłożona do przedziału czasu Δt, pęd cząstki zmienia się o wartość
Δ p = f Δ T ., {\displaystyle \ Delta p = F \ Delta T\,
w postaci różniczkowej jest to drugie prawo Newtona; szybkość zmiany pędu cząstki jest równa działającej na nią sile chwilowej F,
F = d p D t . {\displaystyle F = {\frac {dp} {dt}}.
jeśli siła netto doświadczana przez cząstkę zmienia się w funkcji czasu, F(T), to zmiana pędu (lub impulsu J ) między czasami t1 i T2 wynosi
Δ P = J = ∫ T 1 T 2 F ( T ) d t . {\displaystyle \ Delta p = J= \ int _{t_{1}}^{t_{2}} F(t)\,dt\,.,
impuls jest mierzony w jednostkach pochodnej sekundy Newtona (1 n⋅s = 1 kg⋅m/s) lub sekundy dyne (1 dyne⋅s = 1 g⋅cm/S)
przy założeniu stałej masy M jest to równoważne zapisowi
F = d ( M v ) d t = M D v d T = m A, {\displaystyle F={\frac {d(mv)} {dt}}=m{\frac {dv} {dt}}=ma,}
stąd siła netto jest równa masie cząstki razy jej przyspieszenie.
przykład: model samolotu o masie 1 kg przyspiesza z spoczynku do prędkości 6 m/s na północ w 2 s. siła netto wymagana do wytworzenia tego przyspieszenia wynosi 3 newtony na północ., Zmiana pędu wynosi 6 kg⋅m / s w kierunku północnym. Szybkość zmiany pędu wynosi 3 (kg⋅m/s)/S na północ, co jest liczbowo równoważne 3 newtonom.
w układzie zamkniętym (takim, który nie wymienia żadnej materii z otoczeniem i nie jest oddziaływany przez siły zewnętrzne) całkowity pęd jest stały. Fakt ten, znany jako prawo zachowania pędu, jest implikowany przez prawa ruchu Newtona. Załóżmy na przykład, że dwie cząstki oddziałują ze sobą. Ze względu na trzecie prawo, siły między nimi są równe i przeciwne., Jeśli cząstki są ponumerowane 1 i 2, drugie prawo mówi, że F1 = dp1 / dt i F2 = dp2 / dt. Zatem
d P 1 d t = − d P 2 d t , {\displaystyle {\frac {dp_{1}}{dt}}=-{\frac {dp_{2}}{dt}},}
ze znakiem ujemnym wskazującym na przeciwstawność sił. Równoważnie,
d D t (p 1 + p 2) = 0. {\displaystyle {\frac {d} {dt}} \ left(p_ {1}+p_{2} \ right) = 0.}
Jeśli prędkość cząstek przed oddziaływaniem wynosi u1 i u2, a następnie v1 i v2, to
m 1 U 1 + m 2 U 2 = m 1 v 1 + m 2 v 2 . {\displaystyle m_ {1} u_{1}+M_{2} u_{2}=M_{1} v_{1}+M_{2} v_{2}.,
Prawo to obowiązuje bez względu na to, jak skomplikowana jest siła między cząstkami. Podobnie, jeśli istnieje kilka cząstek, pęd wymieniany między każdą parą cząstek sumuje się do zera, więc całkowita zmiana pędu wynosi zero. To prawo ochrony dotyczy wszystkich oddziaływań, w tym kolizji i separacji spowodowanych siłami wybuchowymi. Można ją również uogólnić do sytuacji, w których prawa Newtona nie obowiązują, na przykład w teorii względności i w elektrodynamice.,
jabłko Newtona w windzie Einsteina. W kadrze a jabłko ma niezerową prędkość i pęd. W ramkach odniesienia windy i osoby B ma zerową prędkość i pęd.
pęd jest wielkością mierzalną, a pomiar zależy od ruchu obserwatora., Na przykład: jeśli jabłko siedzi w szklanej windzie, która schodzi, obserwator zewnętrzny, patrząc w windę, widzi, że jabłko się porusza, więc dla tego obserwatora jabłko ma niezerowy pęd. Dla kogoś wewnątrz windy, jabłko się nie rusza, więc ma zerowy pęd. Każdy z dwóch obserwatorów ma ramy odniesienia, w których obserwują ruchy, a jeśli Winda schodzi równomiernie, zobaczą zachowanie zgodne z tymi samymi prawami fizycznymi.
Załóżmy, że cząstka ma pozycję x w nieruchomej ramce odniesienia., Z punktu widzenia innej ramy odniesienia, poruszającej się z jednolitą prędkością u, pozycja (reprezentowana przez zagruntowaną współrzędną) zmienia się z czasem jako
x ' = X − U T . {\displaystyle x ' =x-ut\,
to się nazywa transformacja Galilejska. Jeśli cząstka porusza się z prędkością dx/dt = v w pierwszej ramce odniesienia, w drugiej porusza się z prędkością
v '= D x ' d t = v − u . {\displaystyle v '={\frac {dx'} {dt}}=v-u\,.}
ponieważ u nie zmienia się, akceleracje są takie same:
A '= D v ' d t = A . {\displaystyle a '={\frac {dv'} {dt}}=a\,.,}
tak więc pęd jest zachowany w obu ramkach odniesienia. Co więcej, dopóki siła ma tę samą formę, w obu ramach, drugie prawo Newtona pozostaje niezmienione. Takie siły jak grawitacja Newtonowska, które zależą tylko od odległości skalarnej między obiektami, spełniają to kryterium. Ta niezależność ram odniesienia nazywana jest Newtonowską teorią względności lub niezmienniczością Galileusza.
zmiana ramki odniesienia może, często, uprościć obliczenia ruchu. Na przykład w zderzeniu dwóch cząstek można wybrać ramkę odniesienia, w której jedna cząstka zaczyna się w spoczynku., Inną, powszechnie stosowaną ramką odniesienia, jest ramka środka masy-taka, która porusza się ze środkiem masy. W tej ramce całkowity pęd wynosi zero.
zastosowanie do zderzeń
samo prawo zachowania pędu nie wystarcza do określenia ruchu cząstek po zderzeniu. Inna właściwość ruchu, energia kinetyczna, musi być znana. Niekoniecznie jest to konserwowane. Jeśli jest zachowana, kolizja nazywana jest kolizją sprężystą; jeśli nie, jest to kolizja nieelastyczna.,
zderzenia sprężyste
Główny artykuł: zderzenia sprężyste
zderzenie sprężyste o nierównych masach
zderzenie sprężyste to takie, w którym energia kinetyczna nie jest absorbowana w zderzeniu. Idealnie elastyczne „kolizje” mogą wystąpić, gdy obiekty nie stykają się ze sobą, jak na przykład w rozpraszaniu atomowym lub jądrowym, gdzie odpychanie elektryczne utrzymuje je od siebie., Manewr procy satelity wokół planety może być również postrzegany jako idealnie sprężyste zderzenie. Kolizja między dwoma piłkami basenowymi jest dobrym przykładem prawie całkowicie elastycznego zderzenia, ze względu na ich wysoką sztywność, ale gdy ciała stykają się, zawsze występuje pewne rozproszenie.
zderzenie sprężyste między dwoma ciałami może być reprezentowane przez Prędkości w jednym wymiarze, wzdłuż linii przechodzącej przez ciała., Jeśli prędkości są u1 i u2 przed zderzeniem oraz V1 i V2 po zderzeniu, równania wyrażające zachowanie pędu i energii kinetycznej są następujące:
M 1 U 1 + m 2 U 2 = m 1 v 1 + m 2 V 2 1 2 m 1 u 1 2 + 1 2 m 2 u 2 2 = 1 2 m 1 v 1 2 + 1 2 m 2 v 2 2 . {\displaystyle {\begin{aligned} m_{1} u_{1}+M_{2} u_{2}&=m_{1} v_{1}+m_{2} v_{2}\\{\tfrac {1} {2}} m_ {1} u_{1}^{2}+{\tfrac {1} {2}} m_{2} u_{2}^{2}&={\tfrac {1} {2}} m_ {1} v_{1}^{2}+{\tfrac {1} {2}} m_{2} v_{2}^{2}\,.\end{aligned}}}
zmiana ramki odniesienia może uprościć analizę kolizji., Na przykład, załóżmy, że istnieją dwa ciała o jednakowej masie m, jedno nieruchome i jedno Zbliżające się do drugiego z prędkością v (jak na rysunku). Środek masy porusza się z prędkością v/2, a oba ciała poruszają się w jego kierunku z prędkością v/2. Ze względu na symetrię, po zderzeniu oba muszą oddalać się od środka masy z tą samą prędkością. Dodając prędkość środka masy do obu, stwierdzamy, że ciało, które się poruszało, jest teraz zatrzymane, a drugie oddala się z prędkością v. ciała wymieniły swoje prędkości., Niezależnie od prędkości ciał, przejście do środka ramy masy prowadzi nas do tego samego wniosku. W związku z tym prędkości końcowe są podane przez
v 1 = U 2 V 2 = U 1 . {\displaystyle {\begin {aligned}v_ {1}&=u_{2}\\v_{2}&=u_{1}\,.,{\displaystyle v_ {1} = \left ({\frac {m_ {1} − M_{2}} {M_{1} + M_{2}}}}\right ) u_{1} + \left ({\frac {M_ {1}-M_{2}}} {M_{1} + M_{2}}}} {2m_ {2}} {M_ {1}+M_ {2}}}\Right ) u_ {2}\,} V 2=(m 2 − m 1 m 1+m 2)U 2+(2 m 1 m 1 + m 2)u 1 . {\displaystyle v_{2}= \ left ({\frac {m_{2}-M_{1}}{M_{1}+M_{2}}}\right)u_{2}+\left ({\frac {2m_{1}}{M_{1}+M_{2}}}\right)u_{1}\,.,}
Jeśli jedno ciało ma znacznie większą masę niż drugie, jego prędkość będzie w niewielkim stopniu zależna od zderzenia, podczas gdy drugie ciało doświadczy dużych zmian.
zderzenia nieelastyczne
Główny artykuł: zderzenie nieelastyczne
idealnie nieelastyczne zderzenie między równymi masami
w zderzeniu nieelastycznym część energii kinetycznej zderzających się ciał jest przekształcana w inne formy energii (takie jak jako ciepło lub dźwięk)., Przykłady obejmują kolizje drogowe, w których efekt utraty energii kinetycznej można zobaczyć w uszkodzeniach pojazdów; elektrony tracą część swojej energii na Atomy (jak w eksperymencie Francka–Hertza); oraz akceleratory cząstek, w których energia kinetyczna jest przekształcana w masę w postaci nowych cząstek.
w idealnie nieelastycznym zderzeniu (np. robal uderzający w przednią szybę) oba ciała mają później ten sam ruch. Zderzenie czołowe nieelastyczne między dwoma ciałami może być reprezentowane przez Prędkości w jednym wymiarze, wzdłuż linii przechodzącej przez ciała., Jeśli prędkości są u1 i u2 przed kolizją, to w idealnie nieelastycznej kolizji oba ciała będą poruszać się z prędkością v po kolizji. Równanie wyrażające zachowanie pędu to:
m 1 u 1 + m 2 U 2 = (m 1 + m 2 ) v . {\displaystyle {\begin{aligned} m_{1} u_{1}+M_{2} u_{2}&=\left(M_{1}+M_{2}\right)v\,.\end{aligned}}}
Jeśli jedno ciało jest nieruchome na początku (np., u 2=0 {\displaystyle u_ {2} = 0} ), równanie zachowania pędu wynosi
m 1 U 1 = (m 1 + m 2 ) v , {\displaystyle M_{1}u_{1}=\left(M_{1}+M_{2}\ right)v\,}
więc
v = m 1 m 1 + m 2 U 1 . {\displaystyle v={\frac {M_{1}} {M_{1}+M_{2}}} u_{1}\,.}
w innej sytuacji, jeśli ramka odniesienia porusza się z końcową prędkością tak, że v = 0 {\displaystyle v=0}, obiekty zostaną zatrzymane przez idealnie nieelastyczne zderzenie i 100% energii kinetycznej zostanie zamienione na inne formy energii., W tym przypadku początkowe prędkości ciał byłyby niezerowe lub ciała musiałyby być bezmasowe.
jedną ze miar nieelastyczności zderzenia jest współczynnik restytucji CR, definiowany jako stosunek względnej prędkości separacji do względnej prędkości podejścia. Przy zastosowaniu tej miary do piłki odbijającej się od stałej powierzchni, można to łatwo zmierzyć za pomocą następującego wzoru:
C R = wysokość odbicia wysokość spadku . {\displaystyle C_ {\text{R}}={\sqrt {\frac {\text {bounce height}} {\text{drop height}}}}}\,.,}
równania pędu i energii odnoszą się również do ruchów obiektów, które zaczynają się razem, a następnie się od siebie oddalają. Na przykład eksplozja jest wynikiem reakcji łańcuchowej, która przekształca energię potencjalną przechowywaną w formie chemicznej, mechanicznej lub jądrowej w energię kinetyczną, akustyczną i promieniowanie elektromagnetyczne. Rakiety wykorzystują również zachowanie pędu: pędnik jest pchany Na Zewnątrz, nabiera pędu, a rakieta otrzymuje równy i przeciwny pęd.,
wiele wymiarów
dwuwymiarowe zderzenie sprężyste. Nie ma ruchu prostopadłego do obrazu, więc potrzebne są tylko dwa składniki, aby reprezentować prędkości i momenty. Dwa niebieskie wektory reprezentują prędkości po zderzeniu i dodają wektorowo, aby uzyskać początkową (czerwoną) prędkość.
ruch rzeczywisty ma zarówno kierunek, jak i prędkość I musi być reprezentowany przez wektor. W układzie współrzędnych z osiami x, y, z, prędkość ma składniki vx w kierunku x, vy w kierunku y, vz w kierunku Z., Wektor jest reprezentowany przez symbol pogrubienia:
v = (v x, V y, V z). {\displaystyle \ mathbf {v} = \ left (v_{x},v_{y},v_{z}\right).}
podobnie pęd jest wielkością wektorową i jest reprezentowany przez symbol pogrubienia:
p = (p x, p y, p z). {\displaystyle \ mathbf {p} = \ left (p_{x},p_{y},p_{z}\right).}
równania w poprzednich rozdziałach działają w postaci wektorowej, jeśli Skalary p I v zostaną zastąpione wektorami p i v. każde równanie wektorowe reprezentuje trzy równania skalarne., Na przykład
p = m v {\displaystyle \mathbf {p} =m\mathbf {v} }
reprezentuje trzy równania:
p x = m v x P Y = m V y P z = m V z . {\displaystyle {\begin{aligned}p_{x}&=mv_{x}\\p_{y}&=mv_{y}\ \ p_{z}&=mv_ {z}.\end{aligned}}}
równania energii kinetycznej są wyjątkami od powyższej reguły zastępczej. Równania są nadal jednowymiarowe, ale każdy Skalar reprezentuje wielkość wektora, na przykład
v 2 = V x 2 + V y 2 + V z 2 . {\displaystyle v^{2}=v_ {x}^{2}+v_ {y}^{2} + v_{z}^{2}\,.,
każde równanie wektorowe reprezentuje trzy równania skalarne. Często współrzędne mogą być wybrane tak, że potrzebne są tylko dwa składniki, jak na rysunku. Każdy składnik można uzyskać oddzielnie, a wyniki połączyć, aby uzyskać wynik wektorowy.
prosta konstrukcja obejmująca środek ramy masy może być użyta do pokazania, że jeśli nieruchoma elastyczna kula zostanie uderzona przez poruszającą się kulę, obie będą odchodzić pod kątem prostym po zderzeniu (jak na rysunku).,
obiekty o zmiennej masie
Zobacz też: układ o zmiennej masie
pojęcie pędu odgrywa zasadniczą rolę w wyjaśnianiu zachowania obiektów o zmiennej masie, takich jak paliwo wyrzucające rakietę lub gaz akreujący gwiazdę. Analizując taki obiekt, traktujemy jego masę jako funkcję zmieniającą się w czasie: m (t). Pęd obiektu w czasie t wynosi zatem p(t) = M(T)v (t)., Można więc próbować powołać się na drugie prawo ruchu Newtona, mówiąc, że zewnętrzna siła F na obiekcie jest związana z jego pędem p(t) przez F = dp/dt, ale jest to niepoprawne, podobnie jak pokrewne wyrażenie znalezione przez zastosowanie reguły produktu do d ( mv)/dt:
F = M ( t ) D v d T + v (t ) D M D T . {\displaystyle F=m(t) {\frac{dv} {dt}}+v(T) {\frac{DM} {dt}}.} (niepoprawne)
to równanie nie opisuje poprawnie ruchu obiektów o zmiennej masie., Prawidłowe równanie TO
F = m (t) D v d t-u D m D T, {\displaystyle F = M (T) {\frac {dv} {dt}} – u{\frac {DM}{dt}},}
Gdzie u jest prędkością wyrzuconej/akreowanej masy, jak widać w ramce spoczynkowej obiektu. Jest to odmienne od v, które jest prędkością samego obiektu widzianą w ramie inercyjnej.
równanie to otrzymuje się poprzez śledzenie zarówno pędu obiektu, jak i pędu wyrzuconej / akreowanej masy (dm). Rozważając razem obiekt i masę (dm) tworzą układ zamknięty, w którym zachowany jest całkowity pęd.,
P ( t + d t ) = ( m d m ) ( v + d v ) + d m ( v − u ) = m v + m v − u d m = P ( t ) + m d v u d m {\displaystyle P(t+dt)=(m-dm)(v+dv)+dm(vu)=mv+mdv-udm=P(t)+mdv-udm}
jabłko Newtona w windzie Einsteina. W kadrze a jabłko ma niezerową prędkość i pęd. W ramkach odniesienia windy i osoby B ma zerową prędkość i pęd.
pęd jest wielkością mierzalną, a pomiar zależy od ruchu obserwatora., Na przykład: jeśli jabłko siedzi w szklanej windzie, która schodzi, obserwator zewnętrzny, patrząc w windę, widzi, że jabłko się porusza, więc dla tego obserwatora jabłko ma niezerowy pęd. Dla kogoś wewnątrz windy, jabłko się nie rusza, więc ma zerowy pęd. Każdy z dwóch obserwatorów ma ramy odniesienia, w których obserwują ruchy, a jeśli Winda schodzi równomiernie, zobaczą zachowanie zgodne z tymi samymi prawami fizycznymi.
Załóżmy, że cząstka ma pozycję x w nieruchomej ramce odniesienia., Z punktu widzenia innej ramy odniesienia, poruszającej się z jednolitą prędkością u, pozycja (reprezentowana przez zagruntowaną współrzędną) zmienia się z czasem jako
x ' = X − U T . {\displaystyle x ' =x-ut\,
to się nazywa transformacja Galilejska. Jeśli cząstka porusza się z prędkością dx/dt = v w pierwszej ramce odniesienia, w drugiej porusza się z prędkością
v '= D x ' d t = v − u . {\displaystyle v '={\frac {dx'} {dt}}=v-u\,.}
ponieważ u nie zmienia się, akceleracje są takie same:
A '= D v ' d t = A . {\displaystyle a '={\frac {dv'} {dt}}=a\,.,}
tak więc pęd jest zachowany w obu ramkach odniesienia. Co więcej, dopóki siła ma tę samą formę, w obu ramach, drugie prawo Newtona pozostaje niezmienione. Takie siły jak grawitacja Newtonowska, które zależą tylko od odległości skalarnej między obiektami, spełniają to kryterium. Ta niezależność ram odniesienia nazywana jest Newtonowską teorią względności lub niezmienniczością Galileusza.
zmiana ramki odniesienia może, często, uprościć obliczenia ruchu. Na przykład w zderzeniu dwóch cząstek można wybrać ramkę odniesienia, w której jedna cząstka zaczyna się w spoczynku., Inną, powszechnie stosowaną ramką odniesienia, jest ramka środka masy-taka, która porusza się ze środkiem masy. W tej ramce całkowity pęd wynosi zero.
zastosowanie do zderzeń
samo prawo zachowania pędu nie wystarcza do określenia ruchu cząstek po zderzeniu. Inna właściwość ruchu, energia kinetyczna, musi być znana. Niekoniecznie jest to konserwowane. Jeśli jest zachowana, kolizja nazywana jest kolizją sprężystą; jeśli nie, jest to kolizja nieelastyczna.,
zderzenia sprężyste
zderzenie sprężyste o nierównych masach
zderzenie sprężyste to takie, w którym energia kinetyczna nie jest absorbowana w zderzeniu. Idealnie elastyczne „kolizje” mogą wystąpić, gdy obiekty nie stykają się ze sobą, jak na przykład w rozpraszaniu atomowym lub jądrowym, gdzie odpychanie elektryczne utrzymuje je od siebie., Manewr procy satelity wokół planety może być również postrzegany jako idealnie sprężyste zderzenie. Kolizja między dwoma piłkami basenowymi jest dobrym przykładem prawie całkowicie elastycznego zderzenia, ze względu na ich wysoką sztywność, ale gdy ciała stykają się, zawsze występuje pewne rozproszenie.
zderzenie sprężyste między dwoma ciałami może być reprezentowane przez Prędkości w jednym wymiarze, wzdłuż linii przechodzącej przez ciała., Jeśli prędkości są u1 i u2 przed zderzeniem oraz V1 i V2 po zderzeniu, równania wyrażające zachowanie pędu i energii kinetycznej są następujące:
M 1 U 1 + m 2 U 2 = m 1 v 1 + m 2 V 2 1 2 m 1 u 1 2 + 1 2 m 2 u 2 2 = 1 2 m 1 v 1 2 + 1 2 m 2 v 2 2 . {\displaystyle {\begin{aligned} m_{1} u_{1}+M_{2} u_{2}&=m_{1} v_{1}+m_{2} v_{2}\\{\tfrac {1} {2}} m_ {1} u_{1}^{2}+{\tfrac {1} {2}} m_{2} u_{2}^{2}&={\tfrac {1} {2}} m_ {1} v_{1}^{2}+{\tfrac {1} {2}} m_{2} v_{2}^{2}\,.\end{aligned}}}
zmiana ramki odniesienia może uprościć analizę kolizji., Na przykład, załóżmy, że istnieją dwa ciała o jednakowej masie m, jedno nieruchome i jedno Zbliżające się do drugiego z prędkością v (jak na rysunku). Środek masy porusza się z prędkością v/2, a oba ciała poruszają się w jego kierunku z prędkością v/2. Ze względu na symetrię, po zderzeniu oba muszą oddalać się od środka masy z tą samą prędkością. Dodając prędkość środka masy do obu, stwierdzamy, że ciało, które się poruszało, jest teraz zatrzymane, a drugie oddala się z prędkością v. ciała wymieniły swoje prędkości., Niezależnie od prędkości ciał, przejście do środka ramy masy prowadzi nas do tego samego wniosku. W związku z tym prędkości końcowe są podane przez
v 1 = U 2 V 2 = U 1 . {\displaystyle {\begin {aligned}v_ {1}&=u_{2}\\v_{2}&=u_{1}\,.,{\displaystyle v_ {1} = \left ({\frac {m_ {1} − M_{2}} {M_{1} + M_{2}}}}\right ) u_{1} + \left ({\frac {M_ {1}-M_{2}}} {M_{1} + M_{2}}}} {2m_ {2}} {M_ {1}+M_ {2}}}\Right ) u_ {2}\,} V 2=(m 2 − m 1 m 1+m 2)U 2+(2 m 1 m 1 + m 2)u 1 . {\displaystyle v_{2}= \ left ({\frac {m_{2}-M_{1}}{M_{1}+M_{2}}}\right)u_{2}+\left ({\frac {2m_{1}}{M_{1}+M_{2}}}\right)u_{1}\,.,}
Jeśli jedno ciało ma znacznie większą masę niż drugie, jego prędkość będzie w niewielkim stopniu zależna od zderzenia, podczas gdy drugie ciało doświadczy dużych zmian.
zderzenia nieelastyczne
w zderzeniu nieelastycznym część energii kinetycznej zderzających się ciał jest przekształcana w inne formy energii (takie jak jako ciepło lub dźwięk)., Przykłady obejmują kolizje drogowe, w których efekt utraty energii kinetycznej można zobaczyć w uszkodzeniach pojazdów; elektrony tracą część swojej energii na Atomy (jak w eksperymencie Francka–Hertza); oraz akceleratory cząstek, w których energia kinetyczna jest przekształcana w masę w postaci nowych cząstek.
w idealnie nieelastycznym zderzeniu (np. robal uderzający w przednią szybę) oba ciała mają później ten sam ruch. Zderzenie czołowe nieelastyczne między dwoma ciałami może być reprezentowane przez Prędkości w jednym wymiarze, wzdłuż linii przechodzącej przez ciała., Jeśli prędkości są u1 i u2 przed kolizją, to w idealnie nieelastycznej kolizji oba ciała będą poruszać się z prędkością v po kolizji. Równanie wyrażające zachowanie pędu to:
m 1 u 1 + m 2 U 2 = (m 1 + m 2 ) v . {\displaystyle {\begin{aligned} m_{1} u_{1}+M_{2} u_{2}&=\left(M_{1}+M_{2}\right)v\,.\end{aligned}}}
Jeśli jedno ciało jest nieruchome na początku (np., u 2=0 {\displaystyle u_ {2} = 0} ), równanie zachowania pędu wynosi
m 1 U 1 = (m 1 + m 2 ) v , {\displaystyle M_{1}u_{1}=\left(M_{1}+M_{2}\ right)v\,}
więc
v = m 1 m 1 + m 2 U 1 . {\displaystyle v={\frac {M_{1}} {M_{1}+M_{2}}} u_{1}\,.}
w innej sytuacji, jeśli ramka odniesienia porusza się z końcową prędkością tak, że v = 0 {\displaystyle v=0}, obiekty zostaną zatrzymane przez idealnie nieelastyczne zderzenie i 100% energii kinetycznej zostanie zamienione na inne formy energii., W tym przypadku początkowe prędkości ciał byłyby niezerowe lub ciała musiałyby być bezmasowe.
jedną ze miar nieelastyczności zderzenia jest współczynnik restytucji CR, definiowany jako stosunek względnej prędkości separacji do względnej prędkości podejścia. Przy zastosowaniu tej miary do piłki odbijającej się od stałej powierzchni, można to łatwo zmierzyć za pomocą następującego wzoru:
C R = wysokość odbicia wysokość spadku . {\displaystyle C_ {\text{R}}={\sqrt {\frac {\text {bounce height}} {\text{drop height}}}}}\,.,}
równania pędu i energii odnoszą się również do ruchów obiektów, które zaczynają się razem, a następnie się od siebie oddalają. Na przykład eksplozja jest wynikiem reakcji łańcuchowej, która przekształca energię potencjalną przechowywaną w formie chemicznej, mechanicznej lub jądrowej w energię kinetyczną, akustyczną i promieniowanie elektromagnetyczne. Rakiety wykorzystują również zachowanie pędu: pędnik jest pchany Na Zewnątrz, nabiera pędu, a rakieta otrzymuje równy i przeciwny pęd.,
wiele wymiarów
dwuwymiarowe zderzenie sprężyste. Nie ma ruchu prostopadłego do obrazu, więc potrzebne są tylko dwa składniki, aby reprezentować prędkości i momenty. Dwa niebieskie wektory reprezentują prędkości po zderzeniu i dodają wektorowo, aby uzyskać początkową (czerwoną) prędkość.
ruch rzeczywisty ma zarówno kierunek, jak i prędkość I musi być reprezentowany przez wektor. W układzie współrzędnych z osiami x, y, z, prędkość ma składniki vx w kierunku x, vy w kierunku y, vz w kierunku Z., Wektor jest reprezentowany przez symbol pogrubienia:
v = (v x, V y, V z). {\displaystyle \ mathbf {v} = \ left (v_{x},v_{y},v_{z}\right).}
podobnie pęd jest wielkością wektorową i jest reprezentowany przez symbol pogrubienia:
p = (p x, p y, p z). {\displaystyle \ mathbf {p} = \ left (p_{x},p_{y},p_{z}\right).}
równania w poprzednich rozdziałach działają w postaci wektorowej, jeśli Skalary p I v zostaną zastąpione wektorami p i v. każde równanie wektorowe reprezentuje trzy równania skalarne., Na przykład
p = m v {\displaystyle \mathbf {p} =m\mathbf {v} }
reprezentuje trzy równania:
p x = m v x P Y = m V y P z = m V z . {\displaystyle {\begin{aligned}p_{x}&=mv_{x}\\p_{y}&=mv_{y}\ \ p_{z}&=mv_ {z}.\end{aligned}}}
równania energii kinetycznej są wyjątkami od powyższej reguły zastępczej. Równania są nadal jednowymiarowe, ale każdy Skalar reprezentuje wielkość wektora, na przykład
v 2 = V x 2 + V y 2 + V z 2 . {\displaystyle v^{2}=v_ {x}^{2}+v_ {y}^{2} + v_{z}^{2}\,.,
każde równanie wektorowe reprezentuje trzy równania skalarne. Często współrzędne mogą być wybrane tak, że potrzebne są tylko dwa składniki, jak na rysunku. Każdy składnik można uzyskać oddzielnie, a wyniki połączyć, aby uzyskać wynik wektorowy.
prosta konstrukcja obejmująca środek ramy masy może być użyta do pokazania, że jeśli nieruchoma elastyczna kula zostanie uderzona przez poruszającą się kulę, obie będą odchodzić pod kątem prostym po zderzeniu (jak na rysunku).,
obiekty o zmiennej masie
pojęcie pędu odgrywa zasadniczą rolę w wyjaśnianiu zachowania obiektów o zmiennej masie, takich jak paliwo wyrzucające rakietę lub gaz akreujący gwiazdę. Analizując taki obiekt, traktujemy jego masę jako funkcję zmieniającą się w czasie: m (t). Pęd obiektu w czasie t wynosi zatem p(t) = M(T)v (t)., Można więc próbować powołać się na drugie prawo ruchu Newtona, mówiąc, że zewnętrzna siła F na obiekcie jest związana z jego pędem p(t) przez F = dp/dt, ale jest to niepoprawne, podobnie jak pokrewne wyrażenie znalezione przez zastosowanie reguły produktu do d ( mv)/dt:
F = M ( t ) D v d T + v (t ) D M D T . {\displaystyle F=m(t) {\frac{dv} {dt}}+v(T) {\frac{DM} {dt}}.} (niepoprawne)
to równanie nie opisuje poprawnie ruchu obiektów o zmiennej masie., Prawidłowe równanie TO
F = m (t) D v d t-u D m D T, {\displaystyle F = M (T) {\frac {dv} {dt}} – u{\frac {DM}{dt}},}
Gdzie u jest prędkością wyrzuconej/akreowanej masy, jak widać w ramce spoczynkowej obiektu. Jest to odmienne od v, które jest prędkością samego obiektu widzianą w ramie inercyjnej.
równanie to otrzymuje się poprzez śledzenie zarówno pędu obiektu, jak i pędu wyrzuconej / akreowanej masy (dm). Rozważając razem obiekt i masę (dm) tworzą układ zamknięty, w którym zachowany jest całkowity pęd.,
P ( t + d t ) = ( m d m ) ( v + d v ) + d m ( v − u ) = m v + m v − u d m = P ( t ) + m d v u d m {\displaystyle P(t+dt)=(m-dm)(v+dv)+dm(vu)=mv+mdv-udm=P(t)+mdv-udm}