Objętość

powyższe formuły mogą być użyte do pokazania, że objętość stożka, kuli i cylindra o tym samym promieniu i wysokości Promień i wysokość są w stosunku 1 : 2 : 3, w następujący sposób.,

niech promień będzie r, A Wysokość będzie h (co jest 2r dla kuli), wtedy objętość stożka wynosi

1 3 π r 2 h = 1 3 π r 2 ( 2 r ) = ( 2 3 π R 3 ) × 1, {\displaystyle {\frac {1}{3}}\pi R^{2}h={\frac {1}{3}}\pi R^{2}\left(2R\right)=\left({\frac {2}{3}}\Pi R^{3}\right)\times 1,}

objętość kuli wynosi

4 3 π R 3 = ( 2 3 π R 3 ) × 2, {\displaystyle {\frac {4}{3}}\pi R^{3}=\Left({\frac {2}{3}}\pi R^{3}\right)\times 2,}

podczas gdy objętość cylindra wynosi

π r 2 h = π r 2 ( 2 R ) = ( 2 3 π R 3 ) × 3., {\displaystyle \ pi R^{2} h=\pi R^{2} (2R)=\left({\frac {2}{3}}\pi R^{3}\right)\times 3.}

odkrycie stosunku objętości kuli i cylindra 2 : 3 przypisuje się Archimedesowi.

pochodne Formulaedytuj

Sfereedit

objętość kuli jest całką nieskończonej liczby nieskończenie małych okrągłych dysków o grubości dx. Obliczenia objętości kuli o środku 0 i promieniu r są następujące.

pole powierzchni dysku okrągłego wynosi π r 2 {\displaystyle \ pi R^{2}}.,

promień okrągłych dysków, zdefiniowany tak, że oś x przecina się prostopadle przez nie, wynosi

y = R 2-x 2 {\displaystyle y={\sqrt {r^{2} − x^{2}}}}

lub

z = R 2-x 2 {\displaystyle z={\sqrt {R^{2} − x^{2}}}}}

Gdzie y lub z Mogą być wzięte za reprezentację promienia dysku przy określonej wartości x.

używając y jako promienia dysku, objętość kuli można obliczyć jako

∫ − R R π y 2 D x = ∫ − R R π ( r 2 − x 2 ) D x . {\displaystyle\int _{- r}^{R}\pi y^{2}\, dx=\int _{- r}^{r} \Pi\left(r^{2}-x^{2}\right)\, dx.,

teraz

∫ − R R π r 2 D x − ∫ − R R π x 2 D x = π ( r 3 + R 3 ) − π 3 ( R 3 + r 3 ) = 2 π R 3 − 2 π R 3 3 . {\displaystyle \ int _{- r}^{R}\pi R^{2}\, dx- \ int _{- r}^{r}\pi X^{2}\, dx= \ Pi \ left (r^{3}+R^{3}\right)-{\frac {\pi }{3}\left (R^{3}+R^{3}\right)=2 \ pi R^{3}-{\frac {2 \ pi r^{3}}{3}}.

laczenie daje V = 4 3 π R 3 . {\displaystyle V={\frac {4} {3}}\pi r^{3}.}

wzór ten można otrzymać szybciej, używając wzoru dla powierzchni kuli, który wynosi 4 π r 2 {\displaystyle 4 \ pi R^{2}}., Objętość kuli składa się z warstw infinitezymalnie cienkich powłok kulistych, a objętość kuli jest równa

∫ 0 R 4 π r 2 d R = 4 3 π R 3 . {\displaystyle\int _{0}^{r}4\pi R^{2}\, dr={\frac{4} {3}} \ pi R^{3}.}

ConeEdit

stożek jest rodzajem piramidalnego kształtu. Podstawowe równanie dla piramid, 1/3 razy czasu bazowego wysokości, stosuje się również do stożków.

jednak, używając rachunku różniczkowego, objętość stożka jest całką nieskończonej liczby nieskończenie cienkich krążków kołowych o grubości dx., Obliczenie objętości stożka o wysokości h, którego podstawa jest wyśrodkowana w (0, 0, 0) z promieniem r, jest następujące.

promień każdego dysku kołowego wynosi r Jeśli x = 0 i 0 Jeśli x = h, A różny liniowo pomiędzy—czyli

r h − x h . {\displaystyle r {\frac{h-x} {h}}.}

pole powierzchni dysku okrągłego wynosi wtedy

π ( R h − x h ) 2 = π r 2 ( h − x ) 2 h 2 . {\displaystyle \pi\left(r {\frac{h-x} {H}}\right)^{2}=\pi R^{2} {\frac {(h-x)^{2}} {h^{2}}}}.,}

objętość stożka można następnie obliczyć jako

π 0 h π r 2 ( h − x ) 2 h 2 d x , {\displaystyle \int _{0}^{h}\pi R^{2}{\frac {(h-x)^{2}}{h^{2}}}dx,}

i po ekstrakcji stałych

π r 2 h 2 ∫ 0 h ( H − x ) 2 d x {\displaystyle {\frac {\pi R^{2}}{h^{2}}}\int _{0}^{h}(h-x)^{2}DX}

całkowanie daje nam

π r 2 h 2 ( h 3 3 ) = 1 3 π r 2 h . {\displaystyle {\frac {\pi R^{2}} {h^{2}}}\left ({\frac {h^{3}}{3}}\right) = {\frac {1} {3}}\pi R^{2} h.}

PolyhedronEdit