mimo że matematycy spędzili ponad 2000 lat na badaniu struktury pięciu ciał stałych platonicznych — czworościanu, sześcianu, ośmiościanu, ikozahedronu i dodekahedronu — wciąż wiele o nich nie wiemy.
teraz trio matematyków rozwiązało jedno z najbardziej podstawowych pytań dotyczących dodekahedronu.
Załóżmy, że stoisz w jednym z rogów platońskiej bryły., Czy jest jakaś prosta droga, którą możesz pójść, która w końcu doprowadzi Cię do punktu wyjścia bez przechodzenia przez inne zakręty? W przypadku czterech brył platońskich zbudowanych z kwadratów lub trójkątów równobocznych — sześcianu, czworościanu, ośmiościanu i ikozahedronu — matematycy niedawno odkryli, że odpowiedź brzmi nie. Każda prosta ścieżka zaczynająca się od zakrętu albo uderzy w inny zakręt, albo będzie wiać na zawsze bez powrotu do domu. Ale z dodekahedronem, który jest utworzony z 12 pentagonów, matematycy nie wiedzieli, czego się spodziewać.,
teraz Jayadev Athreya, David Aulicino i Patrick Hooper pokazali, że nieskończona liczba takich ścieżek w rzeczywistości istnieje na dodekahedronie. Ich praca, opublikowana w maju w Experimental Mathematics, pokazuje, że ścieżki te można podzielić na 31 rodzin naturalnych.
rozwiązanie wymagało nowoczesnych technik i algorytmów komputerowych., „Dwadzieścia lat temu było absolutnie poza zasięgiem; 10 lat temu wymagało to ogromnego wysiłku napisania całego niezbędnego oprogramowania, więc dopiero teraz wszystkie czynniki się połączyły”, napisał w e-mailu Anton Zorich z Instytutu Matematyki Jussieu w Paryżu.
projekt rozpoczął się w 2016 roku, kiedy Athreya z University of Washington i Aulicino Z Brooklyn College zaczęli grać z kolekcją wycinanek kart, które składają się na bryły platoniczne., Kiedy zbudowali różne bryły, przyszło do głowy Aulicino, że zbiór najnowszych badań nad geometrią płaską może być tym, czego potrzebują, aby zrozumieć proste ścieżki na dodecahedronie. „Dosłownie składaliśmy te rzeczy razem”, powiedziała Athreya. „Więc to był rodzaj bezczynnej eksploracji spotyka szansę.”
wraz z Hooperem, Z City College of New York, naukowcy odkryli, jak sklasyfikować wszystkie proste ścieżki z jednego rogu z powrotem do siebie, aby uniknąć innych zakrętów.
ich analiza jest „eleganckim rozwiązaniem”, powiedział Howard Masur z Uniwersytetu w Chicago., „To jedna z tych rzeczy, w której mogę bez wahania powiedzieć: 'Boże, och, żałuję, że tego nie zrobiłem!'”
Ukryte symetrie
chociaż matematycy spekulowali o prostych ścieżkach na dodekahedronie od ponad wieku, w ostatnich latach nastąpił ponowny wzrost zainteresowania tym tematem po wzroście zrozumienia ” powierzchni tłumaczeniowych.,”Są to powierzchnie utworzone przez sklejenie równoległych boków wielokąta i okazały się przydatne do studiowania szerokiej gamy tematów obejmujących proste ścieżki na kształtach z narożnikami, od trajektorii stołu bilardowego po pytanie, kiedy pojedyncze światło może oświetlić cały lustrzany pokój.
we wszystkich tych problemach podstawową ideą jest rozwijanie swojego kształtu w sposób, który sprawia, że ścieżki, które studiujesz, są prostsze. Aby zrozumieć proste ścieżki na bryle platonicznej, można zacząć od przecięcia wystarczająco otwartych krawędzi, aby stała leżała płasko, tworząc coś, co matematycy nazywają siatką., Jedna siatka na sześcian, na przykład, to kształt T złożony z sześciu kwadratów.
wyobraź sobie, że spłaszczyliśmy dwunastościan, a teraz idziemy wzdłuż tego płaskiego kształtu w wybranym kierunku. W końcu trafimy na krawędź siatki, w którym to momencie nasza ścieżka wskoczy do innego Pentagonu (który był przyklejony do naszego obecnego Pentagonu, zanim otworzymy dodekahedron). Za każdym razem, gdy ścieżka się przeskakuje, obraca się również o pewną wielokrotność 36 stopni.,
aby uniknąć tego skakania i obracania, gdy trafimy na krawędź siatki, możemy zamiast tego przykleić nową, obróconą kopię siatki i kontynuować prosto do niej. Dodaliśmy trochę nadmiarowości: teraz mamy dwa różne pentagony reprezentujące każdy pentagon na oryginalnym dodekahedronie. Więc uczyniliśmy nasz świat bardziej skomplikowanym — ale nasza ścieżka stała się prostsza. Możemy ciągle dodawać nową sieć za każdym razem, gdy musimy rozwinąć się poza krawędź naszego świata.,
zanim nasza ścieżka przejdzie przez 10 sieci, obróciliśmy naszą oryginalną sieć o każdą możliwą wielokrotność o 36 stopni, a następna sieć, którą dodamy, będzie miała taką samą orientację, jak ta, od której zaczęliśmy. Oznacza to, że ta jedenasta siatka jest powiązana z oryginalną przez proste przesunięcie — co matematycy nazywają tłumaczeniem. Zamiast klejenia na 11. siatce, moglibyśmy po prostu przykleić krawędź 10. siatki do odpowiedniej równoległej krawędzi w oryginalnej siatce., Nasz kształt nie będzie już leżał płasko na stole, ale matematycy uważają go za wciąż „pamiętający” płaską geometrię z jej poprzedniego wcielenia — tak na przykład, ścieżki są uważane za proste, jeśli były proste w kształcie nieklejonym. Po wykonaniu wszystkich możliwych klejenia odpowiednich równoległych krawędzi otrzymujemy tzw. powierzchnię translacyjną.
uzyskana powierzchnia jest wysoce redundantną reprezentacją dodekahedronu, z 10 kopią każdego Pentagonu. I to znacznie bardziej skomplikowane: skleja się w kształcie pączka z 81 otworami., Jednak ten skomplikowany kształt pozwolił trzem badaczom na dostęp do bogatej teorii powierzchni translacyjnych.
aby zmierzyć się z tą gigantyczną powierzchnią, matematycy zakasali rękawy — w przenośni i dosłownie. Po kilku miesiącach pracy nad tym problemem, zdali sobie sprawę, że 81-dziurkowa powierzchnia pączka stanowi redundantną reprezentację nie tylko dodekahedronu, ale także jednej z najbardziej zbadanych powierzchni translacyjnych., Nazywany podwójnym Pentagonem, powstaje przez przymocowanie dwóch pentagonów wzdłuż pojedynczej krawędzi, a następnie sklejenie ze sobą równoległych boków w celu utworzenia dwudzielnego pączka z bogatą kolekcją symetrii.
ten kształt został również wytatuowany na ramieniu Athreyi. „Podwójny pentagon był czymś, co już znałem i kochałem”, powiedział Athreya, który zrobił Tatuaż rok przed tym, jak on i Aulicino zaczęli myśleć o dodecahedronie.
ponieważ podwójny pentagon i dwunastościan są geometrycznymi kuzynami, wysoki stopień symetrii pierwszego może wyjaśnić strukturę drugiego., To” niesamowita ukryta symetria”, powiedział Alex Eskin z University of Chicago (który był doradcą doktoranckim Athreyi około 15 lat temu). „Fakt, że dodekahedron ma tę ukrytą grupę symetrii jest, myślę, dość niezwykły.”