Macierz Laplace 'a

macierz Laplace' a może być interpretowana jako macierz reprezentacji konkretnego przypadku dyskretnego operatora Laplace ' a. Taka interpretacja pozwala np. uogólnić macierz Laplacjańską do przypadku wykresów o nieskończonej liczbie wierzchołków i krawędzi, co prowadzi do macierzy Laplacjańskiej o nieskończonej wielkości.

Q ϕ i D t = − k ∑ J W A p ( ja ϕ − ϕ z ) = − z ( ϕ mi ∑ J W A i n − ∑ J W A i n ϕ k ) = − k ( ϕ mnie grad ⁡ ( V I ) − ∑ J W A i n ϕ k) = k ∑ J w ( δ i J i deg ⁡ ( V i ) − A ja J ) ϕ J = − K ∑ J w ( ℓ ja J ) ϕ J ., {\właściwości styl wyświetlania wartości {\zaczynają się{wyrównane}{\frac {d\Pi _{i}}{DT}}&C=-K\I _{J}Oh{Hej}\lewo(\Pi _{i}-\Phi _{J}\prawo)\\&C=-K\lewo(\Pi _{i}\I _{J}Oh{Hey}-\I _{J}Oh{hey}\Phi _{j}\prawo)\\&s=-k\lewo(\Pi _{i}\ \stopień(v_{i})-\I _{J}Oh{hey}\Phi _{j}\prawo)\\&C=-K\I _{J}\lewo(\Delta _{hey}\ \stopień(v_{i})-Oh{Hey}\prawo)\Phi _{J}\\&C=-K\I _{J}\lewo(\nu _{hey}\prawo)\Phi _{J}.,\end{aligned}}}

w notacji macierzowo-wektorowej,

d ϕ D t = − k ( D − A ) ϕ = − K L ϕ , {\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {D\phi }{dt}}&=-k(D-A)\phi \\&=-kL\Phi ,\end{aligned}}}

co daje

d ϕ D T + K L ϕ = 0. {\displaystyle {\frac {d\phi} {dt}}+kL \ phi =0.}

zauważ, że to równanie ma taką samą postać jak równanie ciepła, gdzie macierz-L zastępuje operator Laplaciana ∇ 2 {\textstyle \ nabla ^{2}}; stąd „Wykres Laplaciana”.,

0 = d ( ∑ i c i ( t ) v I ) d T + k L ( ∑ I c i ( t ) V i ) = ∑ I = ∑ i λ D c i ( t ) d t + k λ i C i ( t ) = 0 , {\displaystyle {\begin{aligned}0=&{\frac {D\left(\sum _{i}c_{i}(t)\mathbf {v} _{i}\right)}{DT}}+KL\Left(\sum _{i}C_{i}(t)\mathbf {V} _{i}\right)\\=&\sum _{I}\left\\\rightarrow&{\frac {dc_ {i} (T)} {dt}}+K\lambda _{i} C_{i} (T)=0,\\\end{i}}}

c i ( T)=C i ( 0 ) E − K λ i t . {\displaystyle c_{i} (t)=c_{i} (0)e^{-K\lambda _{i} t}., c i (0) = ⟨ ϕ (0), V i⟩ {\displaystyle C_ {i} (0)=\left\Langle \Phi (0),\mathbf {V} _{i}\right\rangle } .

w przypadku wykresów nieskierowanych działa to, ponieważ L {\textstyle L} jest symetryczna, a zgodnie z twierdzeniem spektralnym wszystkie jej wektory są ortogonalne. Tak więc rzut na wektory własne L {\textstyle L} jest po prostu ortogonalnym przekształceniem współrzędnych stanu początkowego w zbiór współrzędnych, które rozpadają się wykładniczo i niezależnie od siebie.,

zachowanie równowagi

lim t → ∞ e − k λ i T = { 0 jeśli λ i > 0 1 jeśli λ i = 0 } {\displaystyle \lim _{t\to \infty }e^{-K\lambda _{i}t}=\left\{{\begin{array}{rlr}0&{\text{if}}&\lambda _{i}>0\\1&{\text{if}}&\lambda _{i}=0\end{array}}\right\}}

innymi słowy, stan równowagi układu jest całkowicie określony przez jądro l {\textstyle l} .,

konsekwencją tego jest to , że dla danego warunku początkowego c ( 0 ) {\textstyle c(0)} dla grafu o wierzchołkach N {\textstyle N}

lim t → ∞ ϕ ( T ) = ⟨ c ( 0), v 1 ⟩ v 1 {\displaystyle \lim _{t\to \infty }\phi (t)=\left\langle c(0),\mathbf {v^{1}} \right\rangle \mathbf {v^{1}} }

gdzie

v 1 = 1 n {\displaystyle \mathbf {V^{1}} ={\frac {1}{\sqrt {n}}}} Lim t → ∞ ∞ j ( t ) = 1 N I i = 1 n c i ( 0 ) {\displaystyle \Lim _{t\to \infty }\Phi _{j}(t)={\frac {1}{N}}\sum _{i=1}^{N}C_{i}(0)} .,

innymi słowy, w stanie stacjonarnym wartość ϕ {\textstyle \ phi } zbiega się do tej samej wartości na każdym z wierzchołków wykresu, która jest średnią wartości początkowych na wszystkich wierzchołkach. Ponieważ jest to rozwiązanie równania dyfuzji ciepła, ma to sens intuicyjnie. Spodziewamy się, że sąsiednie elementy na wykresie będą wymieniać energię, dopóki ta energia nie zostanie równomiernie rozłożona na wszystkie elementy, które są ze sobą połączone.,

przykład operatora na gridEdit